Введение
В данной работе приведены доказательства следующих теорем:
Теорема. Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда и для всех .
Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:
1) операция определена на , т.е. для всех ;
2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;
3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;
4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .
Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если - конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой, а число элементов в - порядком группы .
Подмножество группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что - подгруппа группы , а - что - собственная подгруппа группы , т.е. и .
Централизатор. Пусть - непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через .
Лемма
1. Если - подмножество группы , то централизатор является подгруппой.
2. Если и - подмножество группы и , то
3. Если - подмножество группы и , то
Центр группы. Центром группы называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .
Зафиксируем в группе элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .
Теорема. Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е.
Следствие. Циклическая подгруппа абелева.
Порядок элемента. Пусть - элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок.
Нормализатор. Если - непустое подмножество группы и то и Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,
Лемма. Пусть - непустое подмножество группы , - произвольный элемент группы . Тогда:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) если - подгруппа группы , то
Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается: » - нормальная подгруппа группы «. Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .
Теорема. Для подгруппы группы следующие утверждения эквивалентны:
1) - нормальная подгруппа;
2) подгруппа вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. для всех ;
3) подгруппа совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. для всех .
Лемма. Пусть - подгруппа группы . Тогда:
1) ;
2) если и , то ;
3) - наибольшая подгруппа группы , в которой нормальна;
4) если , то . Обратно, если , то ;
5) для любого непустого подмножества группы .
Простая группа. В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой.
- Основные обозначения
- Введение
- Представления конечных групп
- 1.1 Представления групп
- 1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп
- 1.3 Лемма Шура
- 1.4 Соотношения ортогональности для характеров
- 1.5 Индуцированные представления
- 1.6 Произведение представлений
- Заключение