4. Вопрос Гурвица
Вернемся к формулам с суммами квадратов. Теперь нас интересует такая алгебраическая задача: какие формулы с суммами квадратов можно написать для случая многих переменных? Сформулируем эту задачу более точно. Рассмотрим формулу вида
(2),
в которой все - билинейные комбинации переменных и . Билинейные комбинации-выражения вида и т.д., а также суммы таких выражений, взятых с произвольными действительными коэффициентами. Формулу (2) будем называть формулой типа (r,s,n).
Существует формула типа (4, 4, 4). Это связано со знаменитой алгеброй кватернионов, построенной Уильямом Роуэном Гамильтоном (1806--1865, ирландский математик).
, где
,
,
,
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 -1 0 0 ,= 1 0 0 0 , 0 0 0 -1 , 0 0 1 0
0 0 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
Комплексные числа удобно отождествлять с точками плоскости, поскольку они имеют две координаты - вещественную часть и мнимую. По аналогии с комплексными числами, Гамильтон долго пытался построить «трехмерные числа», т.е. наделить точки трехмерного пространства естественными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими некоторым естественным свойствам. Однако, ему это не удалось. Более того, в некотором естественном смысле, таких «хороших» операций не существует. Все же поиски были не бесполезны. В результате своих поисков Гамильтон наткнулся на замечательную и естественную конструкцию «четырехмерных» чисел - кватернионов.
Кватернионом называется выражение вида
,
в котором i, j, k - формальные символы, не являющиеся действительными числами. Эти символы удовлетворяют следующим соотношениям:
, ,
Первая серия соотношений состоит в том, что каждое из чисел i, j, k является мнимой единицей. Вторая серия соотношений содержит 2 вещи. Первая - мнимые единицы i, j, k антикоммутируют. Кроме этого, вторая серия соотношений выражает произведение любых двух мнимых единиц из трех указанных через эти же самые мнимые единицы. Как складывать и перемножать произвольные кватернионы? Для этого нужно воспользоваться правилами умножения мнимых единиц i, j, k, а также всеми обычными законами сложения и обычным законом дистрибутивности. Например,
Теорема 2: Умножение кватернионов ассоциативно, т.е. для любых трех кватернионов выполнено равенство
Кватернион называется сопряжённым к .
Так же, как и для комплексных чисел,
называется модулем q (или нормой q).
Теорема 3: Для любой пары кватернионов выполнено соотношение
Доказательство:
Эту формулу можно интерпретировать как формулу типа (4, 4, 4) для произведения сумм квадратов.
Формула типа (8, 8, 8) была найдена в 1845 году английским математиком А.Кэли.
А. Гурвиц в 1898 году поставил следующий вопрос, который до сих пор является открытым: Для каких целых чисел r, n, s существует формула типа (r, s, n) для произведения сумм квадратов?
Этот вопрос имеет несколько вариантов. В формуле типа (r, s, n) сумма квадратов r переменных, умноженная на сумму квадратов s переменных, представляется в виде суммы квадратов n билинейных форм от этих двух групп переменных. Однако коэффициенты в этих билинейных формах могут быть целыми, вещественными, комплексными и т.п. Ни в одной из этих ситуаций, на вопрос Гурвица не найдено полного ответа. Кажется, что ответ должен зависеть от выбора коэффициентов. Для всех известных примеров формул с комплексными коэффициентами, существуют формулы того же типа с вещественными и даже целыми коэффициентами.