ВСТУП

Геометрія починається з трикутника. Якщо взяти шкільний підручник з геометрії, то ми побачимо, що перші змістовні теореми стосуються саме трикутника. Все попереднє - лише аксіоми, означення або найпростіші з них наслідки. На початку свого виникнення планіметрія була “геометрією трикутника”. “Геометрія трикутника” може пишатися теоремами, які носять імя Ейлера, Торрічеллі, Лейбниця. На рубежі 19-20 століть завдяки великій кількості робіт, присвячених трикутнику, був створений цілий новий розділ планіметрії - “Нова геометрія трикутника”. Багато з цих робіт зараз виглядають малоцікавими, недосконалими; термінологія, яка використовувалась в них майже забута й зустрічається тільки в енциклопедіях. Але деякі теореми “Нової геометрії” продовжують жити й досі. Двом таким теоремам - Чеви та Менелая - присвячена дипломна робота.

Теореми Чеви та Менелая можна назвати “двоїстими” теоремами: вони схоже формулюються й доводяться, вони взаємозамінюються при розвязанні задач. Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “зясувати відношення” між точками та прямими, - наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін.

Теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, між тим вони прості, цікаві й застосовуються при розвязанні досить складних задач.

Дипломна робота присвячена розробці методики викладання теми “Теореми Чеви та Менелая та їх застосування”.

Робота складається із вступу, 4 розділів, висновків та списку використаної літератури. Кожен розділ побудовано за такою структурою. На початку розділу наводиться необхідний теоретичний матеріал, потім викладено задачі з докладним розвязанням, а наприкінці наведено задачі для самостійної роботи з розвязанням та відповідями.

В першому розділі роботи “Теорема Менелая для трикутника” сформульовано й доведено теорему Менелая для трикутника, наведено нетривіальні приклади використання теореми Менелая (доведено теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса), продемонстровано ефективність використання теореми на приклади розвязання задач двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая.

В другому розділі “Теорема Менелая для тетраедра” сформульовано й доведено аналог теореми Менелая в просторі, наведено приклади розвязання складних стереометричних задач.

В третьому розділі “Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів” сформульовані теореми Чеви та наслідки з них, наведено розвязані задачі.

В четвертому розділі “Теореми Чеви та Менелая для площини” наведено інший підхід до формулювання теорем Чеви та Менелая.

Всього в роботі розвязано 50 задач.

Дипломна робота може бути використана викладачами ліцеїв та гімназій при викладанні спеціальних курсів, а також при підготовці учнів до олімпіад з математики.

РОЗДІЛ 1

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ТРИКУТНИКА