1.1 Орієнтовані відрізки

Нехай на прямій задані відрізки та . Розглянемо вектори та (див. рис. 1). Зі шкільного курсу геометрії відомо, що існує таке число , що . Якщо , то вектори називають однаково спрямованими, а якщо , то говорять , що вектори протилежно спрямовані (див. рис. 1.1а та 1.1б відповідно).

а) б)

Рис. 1.1

При цьому відрізки та ми будемо називати однаково спрямованими, якщо і протилежно спрямованими, якщо . Саме число будемо називати відношенням орієнтованих відрізків (при це відношення є просто відношенням довжин відрізків, а при - відношенням довжин, взяте зі знаком мінус).

В подальшому всі відношення виду будемо розуміти як відношення орієнтованих відрізків.

Якщо відрізки і лежать не на одній прямій, а на паралельних прямих, то також можна говорити про однаково і протилежно орієнтовані відрізки і їхні відношення (див. рис. 1.2).

Рис. 1.2

Наприклад, нехай і - точки площини, а і - перпендикуляри, опущені з цих точок на деяку пряму (див. рис. 1.3).

Рис. 1.3

Тоді, якщо точки і лежать по одну сторону від прямої , то відрізки й орієнтовані однаково (див. рис. 1.3а), а якщо по різні сторони - протилежно (див. рис. 1.3б), при цьому в обох випадках .

Зазначемо такі важливі властивості відношень:

1) 2) .

Нехай тепер на прямій задана ще третя точка - . На рисунку 1.4 показано, якими можуть бути відношення в залежності від положення точки на прямій . Так, якщо лежить на відрізку , то ; якщо точка лежить ліворуч від точки , то ; якщо точка лежить праворуч від точки , то .

Отже, задаючи відношення орієнтованих відрізків ми однозначно визначаємо положення точки на прямій .

Рис. 1.4

Зауваження. Точки , для якої , не має на прямій (можна приєднати до прямої нескінчено удалену точку і вважати, що саме для неї ). Слід зазначити, що просте відношення довжин відрізків неоднозначно задає точку на прямій - таких точок, як правило, дві (за виключенням середини відрізка , для якої ).