1.2 Теорема Менелая
Теорема Менелая дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» грецького математика та астронома Менелая Олександрійського (І-ІІ століття нашої ери). Теорема Менелая дозволяє в деяких випадках знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій.
Теорема Менелая. Нехай задано трикутник і три точки на прямих і відповідно. Точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли
(1.1)
Зауваження. Іноді добуток відношень в теоремі Менелая записують так:
Тут всі відношення, що перемножуються - це відношення орієнтованих відрізків .
Рис. 1.5
Доведення.
Необхідність. Нехай пряма перетинає прямі та в точках і відповідно (див. рис. 1.5) і - перпендикуляри, які опущено з точок на пряму . Як було доведено раніше,
.
Перемножаючи записані відношення, маємо
.
Достатність. Проведемо пряму . Ми повинні довести, що ця пряма перетинає в точці . Насамперед доведемо, що дійсно перетинає . Припустимо, що паралельна (див. рис. 1.6). Але тоді
Звідси та з рівності (1.1) випливає , що неможливо.
Нехай - точка перетину прямих та . По вже доведеному
Рис. 1.6
Порівнюючи з умовою, одержуємо, що
.
Оскільки мова йде про відношення орієнтованих відрізків, то , що потрібно було довести довести. Отже, теорема Менелая повністю доведена.
Зауваження 1. При розвязанні конкретних обчислювальних задач, якщо відомо, що точки і лежать на одній прямій, можна не турбуватися про запис відношень орієнтованих відрізків в формулі (1.1), а обмежитися відношеннями їх довжин.
Зауваження 2. Якщо замінити в (1.1) орієнтовані відношення відношеннями довжин, обернена теорема перестає бути вірною, тобто точки і , для яких виконується (1.1), не повинні лежати на одній прямій.
Наприклад, нехай точки взяті на сторонах трикутника так, що , і - середина сторони , тоді
,
але точки не лежать на одній прямій.
- 8.Процедура голосування: теореми та парадокси
- Конспект заняття математичного гуртка. 9-й клас
- Тема 4: Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, їх геометрична ілюстрація та застосування. Правило Лопіталя.
- Тема 14. Ряди та їх застосування
- Телемах у Нестора і в Менелая
- 1*. Суть закону великих чисел і центральної граничної теореми
- Доведення необхідності
- 30. Нестандартні задачі і теореми елементарної геометрії. Принцип Діріхле. Теореми Чеви і Менелая.