Элементы высшей алгебры: нахождение корней многочленов высших степеней

курсовая работа

Элементы высшей алгебры. Нахождение корней многочленов высшей степени

Многочлен (или полином) от n переменных -- есть конечная формальная сумма вида

,

где I = (i1,i2,...,in) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI -- число (называемое "коэффициент многочлена"), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел).

В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом, в случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.

Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число

| I | = i1 + i2 + ... + in.

Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае -- неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен л, то p или q делится на л. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4 + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел -- на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Корень многочлена над полем k - это элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение в тождество.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x ? a равен P(a). Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство.

Поделим с остатком P(x) = (x ? a)Q(x) + R(x). Так как degR(x) < deg(x ? a) = 1, R(x) - многочлен степени 0. Подставляя a, поскольку (a ? a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(x).

Другой вариант доказательства.

Запишем формулу Тейлора для многочлена:

Берём x0 = a. Теорема доказана.

Следствие. Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x ? a.

Число вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами степени n заведомо меньше либо равно n. При этом комплексные корни многочлена (если они есть) сопряжены, таким образом, многочлен четной степени может иметь только четное число вещественных корней, а многочлен нечётной - только нечётное.

Всякий многочлен p(x) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень.

Теорема (основная теорема алгебры). Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел.

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.

Доказательство. У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x ? a)g(x), где g(x) -- другой многочлен. Применим теорему к g(x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель. На самом деле существует еще несколько прямых следствий.

Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (р. 1617). Первые доказательства основной теоремы алгебры принадлежат Жирару, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличной от современной. Маклорен и Эйлер уточнили формулировку придав ей форму, эквивалентную современной: "Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами."

ДАламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме, что если для какого-нибудь x f(x)?0, где f(x) -- многочлен степени ?1 , то найдется точка x1 такая, что |f(x1)|<|f(x)|. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы ДАламбер мог доказать, что где-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во 2-й половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что по крайней мере один из них является комплексным числом. Гаусс первым дал доказательство без этого предположения (единственным недоказанным Гауссом предположением было то, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий как положительное, так и отрицательное значение, также имеет и корень, что весьма геометрически наглядно). Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.

Со времён доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.

Кроме того, доказательство теоремы не вполне "алгебраическое", оно привлекает утверждения о топологии комплексной плоскости, либо хотя бы вещественной прямой.

Многочлен с вещественными коэффициентами p(x) можно записать в виде

где

-- (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.

Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Формулы Виета -- формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням.

Если -- корни многочлена (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря ( ? 1)kak равно сумме всех возможных произведений из k корней.

Если старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства

где правая часть представляет собой многочлен, разложенный на множители.

После перемножения элементов правой части, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными в обеих частях, из чего следуют формулы Виета.

Пример. Квадратное уравнение

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Или

Если x1 и x2 -- корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 , то

и .

В частном случае, если a = 1 (приведенная форма x2 + px + q = 0), то

x1 + x2 = ? p и x1x2 = q.

Пример. Кубическое уравнение

Если x1, x2, x3 - корни кубического уравнения p(X) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, то

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции -- эллиптические или гипергеометрические (корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.

Ряд Штурма (система Штурма) для вещественного многочлена -- последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма. Ряд и теорема названы именем французского математика Жака Штурма.

Рассмотрим многочлен f(x) с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами называется рядом Штурма для многочлена f(x), если выполнены следующие условия: не имеет корней;

если и , то ;

если ,

то произведение меняет знак с минуса на плюс, когда x, возрастая, проходит через точку c, т.е. когда существует такое д > 0, что

для и для .

Значением ряда Штурма в точке c называется количество смен знака в последовательности f0(c),f1(c),...,fs(c) после исключения нулей.

Теорема Штурма Пусть f(x) -- ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, f0(x),f1(x),...,fs(x) -- некоторый ряд Штурма для него, [a,b] -- промежуток вещественной прямой, причём . Тогда число корней многочлена f(x) на промежутке [a,b] равно W(a) ? W(b), где W(c) -- значение ряда Штурма в точке c.

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена. Пусть многочлен f(x), отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:

;

;

Если fk(x) (k > 0) имеет корни, то , где -- остаток от деления многочлена f(x) на многочлен g(x) в кольце многочленов , иначе s = k.

Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно положить , и далее следовать приведенному выше способу. Здесь (f(x),f(x)) -- наибольший общий делитель многочленов f(x) и f(x). Если многочлен f(x) есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена f0(x) = f(x).

Ряд Штурма используется для определения количества вещественных корней многочлена на промежутке. Отсюда вытекает возможность его использования для приближённого вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена

f(x) = (x ? 1)(x ? 3) = x2 ? 4x + 3

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена

f(x) = (x ? 1)(x ? 3) = x2 ? 4x + 3

Многочлен fi(x)

Знак многочлена в точке

0

1

2

3

4

f0(x) = x2 ? 4x + 3

f1(x) = 2x ? 4

f2(x) = 1

Значение ряда в точке

Таким образом, по теореме Штурма число корней многочлена f(x) равно: 2 ? 0 = 2 на промежутке

2 ? 0 = 2 на промежутке (0,4)

2 ? 1 = 0 на промежутке (0,2)

Метод Лобачевского.

Для отделения корней Лобачевский предложил метод квадратирования - способ построения по исходному уравнению нового уравнения, кони которого связаны с корнями исходного следующим образом: yi=-xi2

Процедура выполнения многократна, пока не достигнем серьёзной разницы модуля разности корней b0(m)yn + b1(m)yn-1+…+ bn-1(m)y+ bn(m)=0 (*)

Пусть уравнение (*) получено в результате m-го шага квадрирования.

m=1 b0(1)=a02, b1(1)= a12=2 a0 a2

bk(1)=ak2-2ak-1ak+1+2ak-2ak+2….,k=0,n

При получении bk коэффициента, который рассчитывается как квадрат соответствующего коэффициента ak минус удвоенное произведение соседних коэффициентов с ak плюс удвоенное произведение следующей пары соседей , чередуя знаки, пока в число соседних коэффициентов не попадут а0 и аn.

m>1b0(m)=( b0(m-1))2, b1(m)=( b1(m-1))2-2b0(m-1)b2(m-1)

bk(m)=( b0(m-1))2-2bk-1(m-1)bk-1(m-1)+2bk-2(m-1)bk+2(m-1)

Критерий остановки: bk(m)?( b0(m-1))2, k=0,n

Получим корень: yi(m)=-xi2, i=1,n -связь корней, полученных на m-шаге процесса квадрирования с корнями исходного уравнения.

yi на m-шаге :

,

Отсюда

, i=1,n

Знак xi определяется путем подстановки в исходное уравнение. Те коэффициенты, которые будут отвечать за наличие комплексных корней, имеют следующий признак: один или несколько коэффициентов в ходе процесса квадрирования ведут себя неправильно (все остальные коэффициенты >к квадратам предыдущих, а неправильные > к квадратам предыдущих могут менять знак).

Признак наличия кратных корней: один или несколько коэффициентов > к половине квадрата коэффициента предыдущего шага.

Метод половинного деления.

Если функция непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.

Пример. Отделим аналитически корни уравнения .

Рассмотрим функцию .

Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента :

.

.

при ;

;

или ;

;

;

, .

Посчитаем значения функции в точках нулей её производной и в граничных точках (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Для удобства составим таблицу знаков функции :

+

-

-

-

+

Следовательно, уравнение , то есть имеет два действительных корня: и .

Уменьшим промежутки, в которых находятся корни:

2

3

+

-

-

-

-

-

+

Следовательно, уравнение , то есть имеет два действительных корня: и .

Уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01.

Если функция непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.

Результаты расчётов поместим в таблице:

0

2

3

2,5

39,0625

62,5

50

34,5625

1

2

2,5

2,25

25,62890625

45,5625

40,5

13,69140625

2

2

2,25

2,125

20,39086914

38,3828125

36,125

5,648681641

3

2

2,125

2,0625

18,09571838

35,09472656

34,03125

2,159194946

4

2

2,0625

2,03125

17,02368259

33,52355957

33,0078125

0,539429665

5

2

2,03125

2,015625

16,50588995

32,75587463

32,50195313

-0,240188539

6

2,015625

2,03125

2,0234375

16,76328689

33,13823509

32,75439453

0,147127453

7

2,015625

2,0234375

2,01953125

16,63421502

32,94668508

32,62805176

-0,047151658

Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .

Пример. Отделим корни уравнения и найдём их с точностью методом деления пополам.

Сделаем чертёж для того, чтобы графически найти приближённые значения корней (решений) уравнения , то есть . Построим графики функций и , а затем найдём корни исходного уравнения как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Очевидно, графики функций и пересекаются в двух точках, абсциссы которых принадлежат соответственно отрезкам и , и приблизительно равны соответственно и 2,1. Следовательно, уравнение имеет два решения (корня):

1) решение, принадлежащее отрезку и приблизительно равное ;

2) решение, принадлежащее отрезку и приблизительно равное 2,1.

Если функция непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.

Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , причём и , то есть . Поэтому для нахождения первого корня уравнения , то есть уравнения , воспользуемся методом половинного деления:

1) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

2) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

3) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

4) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

5) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

6) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

7) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

8) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

Итак, первый корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью первый корень уравнения : .

Снова рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , причём и , то есть . Для нахождения второго корня уравнения , то есть уравнения , снова воспользуемся методом половинного деления:

1) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

2) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

3) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

4) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

5) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

6) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

7) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

8) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.

Итак, второй корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью второй корень уравнения : .

Метод касательных (Ньютона).

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) -- это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643--1727), под именем которого и обрёл свою известность.

Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где -- сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде

,

тогда:

В предположении, что точка приближения "достаточно близка" к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:

С учётом этого функция определяется выражением:

Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения .

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть -- определённая на отрезке [a, b] и дифференцируемая на нём действительнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:

,

где б -- угол наклона касательной в точке .

Следовательно искомое выражение для имеет вид:

.

Итерационный процесс начинается с некого начального приближения x0 (чем ближе к нулю, тем лучше, но если предположения о нахождении решения отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).

Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение.

Комбинированный метод хорд (пропорциональных отрезков) и касательных (Ньютона).

Если функция непрерывна на отрезке , , а и сохраняют постоянные знаки на отрезке , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , можно воспользоваться комбинированным методом хорд (пропорциональных отрезков) и касательных (Ньютона), на каждом этапе которого находятся значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения . Так, для случая и полагаем , и , (на каждом шаге данный метод применяется к отрезку . Если допустимая абсолютная погрешность приближённого корня равна , то процесс сближения прекращается в тот момент, когда будет обнаружено, что . По окончании процесса за значение корня лучше всего взять среднее арифметическое полученных последних значений: .

Пример. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение третьей степени , вычислив корни с точностью до 0,001.

Сделаем чертёж для того, чтобы графически найти приближённые значения корней (решений) уравнения , то есть . Построим графики функций и , а затем найдём корни исходного уравнения как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Очевидно, графики функций и пересекаются в двух точках:

a) в точке, абсцисса которой принадлежит отрезку и приблизительно равна ;

b) в точке, абсцисса которой принадлежит отрезку и приблизительно равна 0,6.

Следовательно, уравнение имеет два решения (корня):

a) корень, принадлежащий отрезку и приблизительно равный ;

b) корень, принадлежащий отрезку и приблизительно равный 0,6.

Если функция непрерывна на отрезке , , а и сохраняют постоянные знаки на отрезке , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , можно воспользоваться комбинированным методом хорд (пропорциональных отрезков) и касательных (Ньютона), на каждом этапе которого находятся значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения . Так, для случая и полагаем , и , (на каждом шаге данный метод применяется к отрезку . Если допустимая абсолютная погрешность приближённого корня равна , то процесс сближения прекращается в тот момент, когда будет обнаружено, что . По окончании процесса за значение корня лучше всего взять среднее арифметическое полученных последних значений:

.

Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , причём и , то есть .

; для любых ;

; для любых .

Сделаем замену .

Тогда функция , принимает вид , . Теперь и сохраняют постоянные знаки на отрезке: ; для любых ;

; для любых .

Поэтому для нахождения первого корня уравнения (), то есть уравнения воспользуемся комбинированным методом хорд и касательных:

1) Полагаем , ; для функции

:

; ; ;

,

;

2) Для функции

:

;

;

;

,

.

3) Для функции

:

;

;

;

,

.

Очевидно, , то есть , следовательно, процесс сближения можно прекратить, требуемая точность достигнута.

Итак, первый корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью первый корень уравнения : . Соответственно с точностью первый корень уравнения

: .

Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , причём и , то есть .

; для любых ;

; для любых .

Поэтому для нахождения второго корня уравнения , то есть уравнения воспользуемся комбинированным методом хорд и касательных:

1) Полагаем , ;

,

;

2) ;

;

;

;

.

3) ;

;

;

;

.

Очевидно, , то есть , следовательно, процесс сближения можно прекратить, требуемая точность достигнута.

Итак, второй корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью второй корень уравнения : .

Делись добром ;)