Задача

Решить уравнение (найти все корни)

.

Решение.

Отделим графически корни уравнения

Рассмотрим функцию

Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента :

.

Очевидно, график функции пересекается с осью в четырёх точках, абсциссы которых расположены:

1) между -8 и -7;

2) между -1 и 0;

3) примерно в точке 1;

4) между 2 и 3.

Следовательно, уравнение имеет 4 действительных корня: , , и .

Уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01.

Если функция непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.

Результаты расчётов поместим в таблице:

Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .

Аналогичным образом уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01.

Результаты расчётов поместим в таблице:

Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .

Уточним корень уравнения

.

,

следовательно, можно сделать вывод, что корень уравнения .

Уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01. Результаты расчётов поместим в таблице:

Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .

Ответ: ; ; ; .