24. Корни многочленов. Простые и кратные формы?

Рассмотрим в комплексной области многочлен, то есть функцию вида , (8.1)

где - комплексные числа. Числа называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n — его степенью.

Определение 8.1. Два многочлена Pn (z) и равны тогда и только тогда, когда m=n, a0 = b0 , a1 = b1 ,…, an = bn .

Определение 8.2. Число z0 называется корнем многочлена (8.1), если Pn (z0) = 0.

Теорема 8.1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Pn(z) на z — z0 ( z0 — не обязательно корень многочлена) равен P(z0).

Доказательство. Разделив P(z) на z — z0 , получим: P(z) = Q(z)(z — z0) + r, где число r — остаток от деления, а Q(z) — многочлен степени, меньшей n. При подстановке в это равенство z = z0 найдем, что r = P(z0), что и требовалось доказать.

Теорема 8.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень (без доказательства).

Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители.

Пусть Pn (z) — многочлен степени n, а z1 — его корень. Тогда по теореме Безу Pn (z) можно представить в виде:

Pn (z) = (z — z1) Qn-1 (z),

где Qn-1 — многочлен степени n — 1. Если при этом Qn-1 (z1) = 0, его вновь можно представить как ( z — z1 )Qn-2 (z), a Pn (z) = (z — z1)Qn-2 (z).

Определение 8.3. Натуральное число k1 называется кратностью корня z1 многочлена Pn (z), если этот многочлен делится на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым, а корень кратности, большей 1, - кратным.

Итак, если z1 — корень Pn кратности k1 , то Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен тоже имеет корень. Обозначим его z2 , а его кратность k2 . Тогда а , (8.2)

где Следовательно, в комплексной области всякий многочлен можно разложить на линейные множители.Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

над полем k — элемент , такой что выполняются два следующих равносильных условия:данный многочлен делится на многочлен ;подстановка элемента c вместо x обращает уравнение в тождество.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Свойства

Число корней многочлена степени n не превышает n даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.Всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) . Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).Более того, многочлен с вещественными коэффициентами можно записать в виде

где — (в общем случае комплексные) корни многочлена , возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n, учитывая кратные корни кратное количество раз, равно n. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.