I. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

1. Общие понятия.

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений.

Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которую называют нормальной системой:

(1.1),

где , – искомые функции; , ; – постоянные действительные коэффициенты, , – заданные непрерывные функции.

Если , то система называется однородной.

Систему (1.1) можно зависать в векторной форме.

Введем обозначения:

; ; (1.2).

Система (1.1) принимает вид:

(1.3).

Однородная система линейных уравнений в векторной форме имеет вид:

(1.4).

Решение системы линейных дифференциальных уравнений представляется совокупностью функций: (1.5).

Система функций (1.5) называется фундаментальной системой решений. Линейная комбинация фундаментальной системы решений позволяет записать общее решение системы (1.4) в виде:

(1.6).

Если при решении системы дифференциальных уравнений задаются начальные условия, которые в векторной форме имеют вид: (1.7), тогда определяется единственное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

В курсе лекций доказывается, что общее решение системы (1.3) представляется в виде суммы общего решения однородной системы дифференциальных уравнений (1.4), записанного в виде (1.6) и какого-нибудь частного решения неоднородной системы.

Рассмотрим получение решения однородной системы (1.4).

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

(1.8),

, – константы, которые подлежат определению.

Подставим (1.8) в систему (1.4) и получим:

(1.9)

Упростим систему (1.9):

(1.10)

Система (1.4) – однородная система дифференциальных уравнений. Эта система имеет тривиальное решение:, если определитель системы (1.10)

(1.11)

отличен от нуля, а нас интересует частное решение системы (1.4), представленное в виде (1.8) и отличное от тривиального.

Нетривиальное решение (1.8) будет получено при условии равенства нулю определителя (1.11).

Приравнивая определитель (1.11) нулю, получим уравнение относительно , которое называется характеристическим уравнением:

(1.12)

корни характеристического уравнения (1.12) определяют вид решения (1.8).

2. Получение фундаментальной системы решений.

Характеристическое уравнение (1.12) системы (1.4) является уравнением -ой степени относительно.

Предположим, что характеристическое уравнение имеет различных корней, которые являются характеристическими числами матрицы. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный вектор. Для каждого характеристического числанапишем систему (1.10) и определим собственный вектор.

Тогда система дифференциальных уравнений имеет решений:

1-е решение, соответствующее корню :

2-е решение, соответствующее корню :

;

…………………………………………………

-е решение, соответствующее корню :

.

Мы получили фундаментальную систему решений. Общее решение системы (1.4) таково:

,

где – произвольные постоянные.

Случаи комплексных и кратных корней рассмотрим на примерах.