2.1. Определение устойчивости.

Пусть – решение уравнения, определяемое для всех, с начальным значением. Оно называется устойчивым по Ляпунову, если длятакое, что все решения, удовлетворяющие приусловию, для всехсуществуют и удовлетворяют неравенству.

Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, существует

Разберем на конкретном примере свойство устойчивости решения и условия, входящие в его определение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли.

Легко проверить, что его общее решение будет иметь вид

Иначе можно записать так:

1. При начальном условии

2. При

На рис. 2.1 показаны интегральные кривые в области . Жирными линями отмечены решения, исследуемые на устойчивость.

Рис. 2.1

Задача 1. Исследовать на устойчивость решение с начальным значением :

.

Это решение определено для всех и поэтому вопрос об устойчивости не лишен смысла.

Пусть , тогда все решения с такими начальными условиями

определены для всех .

Составим разность

Здесь учтено, что . Из последующего вытекает, что еслии, тодля всех.

Следовательно, задавшись любым , надо взять.

Тогда для всех будем иметь, что и.

Более точно:

Таким образом исследуемое решение устойчиво.

Кроме того, так как .

Поэтому решение также и асимптотически устойчиво. Наличие асимптотической устойчивости хорошо видно на рис.2.1, так как все решения с начальными условиямиасимптотически приближаются к.

Задача 2. Для того же уравнения исследовать на устойчивость тривиальное решение .

Возвратимся к формуле

Легко заметить, что при решениеопределено не для всех, так как признаменатель обращается в нуль, поэтому при.

Так как отрицательное значение можно взять сколь угодно близким к, то заключаем, что не существует окрестность точки, для которой все решения уравнения существовали бы для всех.

Решение неустойчиво.

Ра рис. 2.1 это можно наглядно проиллюстрировать: решения с отрицательными начальными значениями, начинающиеся сколь угодно близко от , неограниченно удаляются от, анеограниченно возрастает при.