II. Устойчивость по Ляпунову, точки покоя системы двух линейных уравнений.

1. Матрица системыимеет вид.

Составим характеристическое уравнение матрицы системы (1.12)

, или

Его корни – характеристические числа матрицы.

При система уравнений (1.10) для определения собственного вектора имеют вид

и сводится к одному уравнению .

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений. Найдем одно из них и запишем в виде вектора (1.3).

При получаем систему уравнений (1.10):

.

Это уравнение определяет вектор .

Запишем фундаментальную систему решений: для ; для.

Общее решение системы имеет вид:

2. Матрица системыимеет вид.

Составим характеристическое уравнение матрицы системы (1.12):

, или ;

.

Определяем собственные векторы.

При получаем систему уравнений (1.10):

Если , тогда. Получим собственный вектор.

При получаем систему уравнений(1.10):

Таким образом . Приняв, находим, т.е. собственный вектор имеет вид.

Запишем фундаментальную систему решений:

для :

для :

Итак, получаем общее решение:

т.е.

Полагая , получаем

3. Найти фундаментальную систему решений.

Запишем характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения:

Найдем фундаментальную систему решений:

Для получим систему уравнений (1.10):

Для собственный вектор имеет вид

.

Для получили систему уравнений (1.10)

Для собственный вектор имеет вид:.

.

Для получим систему уравнений (1.10)

Для собственный вектор имеет вид.

Фундаментальная система решений представляется в виде:

4. Найти общее решение системы уравнений

Матрица системы :.

Характеристическое уравнение матрицы системы:

Если – корень кратности, то этому корню соответствует решение

, где – многочлены степени не выше.

Таким образом, двукратному корню соответствует решение.

Дифференцируя и, получим

Значения подставим в исходную систему уравнений. После сокращения наимеем

Приравнивая коэффициенты при и свободные члены, получаем системы уравнений

Отсюда следует, что .

Полагая , находим. Следовательно.

Замечание. Эта система проще решается методом исключения.