Правила дифференцирования и таблица производных

Из определения производной вытекают несколько правил дифференцирования, использование которых позволяет свести дифференцирование функций к вычислению производных элементарных функций:

производная постоянной величины (константы) равна нулю:

;

постоянная величина (константа), являющаяся сомножителем функции, при дифференцировании выносится за знак производной:

;

производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных функций:

;

производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс произведение первой функции на производную второй:

;

производная частного при делении двух функций преобразовывается по формуле:

;

производная сложной функции (т. е. функции от функции) равна произведению производной внешней функции по всему ее аргументу (т. е. по вложенной функции g) и производной вложенной функции по ее аргументу:

или

.

(Производная сложной функции – наиболее сложное для практического применения правило дифференцирования, поэтому приведены две формы записи этого правила.)

Расчет погрешности косвенных измерений при выполнении лабораторных работ требует умения вычислять частные производные функции многих переменных. Чтобы вычислить такую производную по одному из аргументов, необходимо все остальные переменные объявить константами и руководствоваться далее обычными правилами дифференцирования:

Производные некоторых наиболее часто встречающихся элементарных функций:

гармонических функций синуса и косинуса:

; (П.3.9а);

экспоненциальной и логарифмической функций:

; (П.3.10а);

степенной функции и два ее частных случая для n = –1 и n = соответственно:

; (П.3.11а); (П.3.11б).

(Более полную таблицу производных можно найти в учебниках по высшей математике, либо в специальных справочниках.)

ПРИЛОЖЕНИЕ 4