logo
2_Кинематика и динамика частиц в задачах

Действия над векторами

Рис. П.2.1

Рис. П.2.2

Рис. П.2.3

Сложение векторов:

выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.

При сложении векторов по правилу треугольника (рис. П.2.1) длина результирующего вектора может быть рассчитана по теореме косинусов:

.

При сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. П.2.2) из теоремы косинусов легко получить выражение для вычисления длины результирующего вектора:

.

Умножение вектора на число (рис. П.2.3) изменяет только длину вектора, если число положительное, а при отрицательном числе изменяет еще и нап-равление вектора на противоположное:

.

Вычитание векторов с учетом действия (П.2.4) сводится к сложению вектора с вектором, противоположным вектору:

.

Скалярное произведение векторов определяется выражением:

,

где α – угол между векторами и.

Векторное произведение векторов можно записать так:

,

где – орт нормали к плоскости (часто), в которой лежат векторы, направленный так, что векторыобразуют правовинтовую тройку векторов, т. е. при вращении правого винта в нап-равлении от первого вектора ко второму (отк) винт должен двигаться поступательно в сторону третьего () вектора (рис. П.2.4).

Рассмотрим характеристикивектора.

Используя правило умножения вектора на число, произвольный вектор (рис. П.2.5) можно представить в виде:

,

где a – длина (модуль); –орт вектора .

Проекция вектора на ось (рис. П.2.6) определяется формулой:

,

где α – угол между вектором и осью x (0 ≤ α ≤ π).

Рис. П.2.4

Рис. П.2.5

Рис. П.2.6

Вектор можно разложить по трем взаимно перпендикулярным направлениям в пространстве, например по трем декартовым осям координат. Выбрав единичные векторы (орты) (иногда обозначаются как) вдоль осейOx, Oy и Oz, любой вектор можно представить в виде:

,

где – проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Тогда модуль вектора рассчитывается по формуле:

.

Формула позволяет выполнять действия над векторами аналитически, без геометрического сложения на рисунке, что особенно удобно в том случае, если векторы изменяются с течением времени.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4