Правила интегрирования и таблица интегралов

Неопределенный интегралфункцииf(x)равен суммепервообразнойF(x)этой функции и произвольной постоянной (константы):

.

Напомним, что первообразная F(х) функции f(x) это такая функция, производная от которой равна f(x), т. е. . Операции дифференцирования и интегрирования – две противоположные операции (напоминают противоположные друг другу алгебраические действия возведения в степень и извлечения корня).

Из определения интеграла вытекают несколько правил интегрирования, которые позволяют значительно упростить вычисление интегралов:

интеграл от дифференциала переменной (или функции) равен сумме самой переменной (или функции) и постоянной величины (константы):

;

интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов:

;

постоянный сомножитель можно вынести за знак интеграла:

;

правило интегрирования по частям:

.

Кроме неопределенного интеграла, который представляет собой функцию, по формуле Ньютона-Лейбница можно вычислить определенный интеграл:

.

Интегралы некоторых, наиболее часто встречающихся элементарных функций:

от тригонометрических функций синуса и косинуса –

; (П.4.7а);

от экспоненциальной и логарифмической функций –

; (П.4.8а);

от степенной функции –

(при ); (П.4.9а).

(Более полную таблицу интегралов можно найти в учебниках по высшей математике, либо в специальных справочниках.)

Некоторые физические задачи приводят к дифференциальным уравнениям. Решить дифференциальное уравнение – значит найти функцию (или функции), которая бы обращала уравнение в тождество. Наиболее простой вид дифференциальных уравнений – это уравнения с разделяющимися переменными:

или

.

Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только x, в другую – толькоy, и затем проинтегрировать обе части. Появившуюся в решении постоянную интегрирования можно определить из начальных или граничных условий.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5