Глава 2. Уравнения лапласа и пуассона

В уравнения Максвелла входят плотность заряда ρ и плотность тока проводимости , а также другие функциями плотности, например, плотности мощностиp, плотности энергии ω и т. д. Эти функции определяются предельными выражениями, которые имеют вполне ясный смысл при плавно меняющихся, как говорят, гладких (дифференцируемых) распределениях заряда, тока и иных физических величин. Но как, например, охарактеризовать при помощи функции ρ идеальный точечный заряд, который занимает исчезающе малый объем, а, следовательно, должен иметь бесконечную плотность в точке? На этот и подобные вопросы, касающиеся дискретных распределений, дает ответ аппарат дельта-функции Дирака. Этот аппарат будет использован, в частности, при интегрировании уравнения Пуассона.

Рассмотрение граничных задач для уравнения Лапласа понадобится для правильного суждения о содержании важных классов задач электростатики.

Наконец, излагаемый в данной главе метод разделения переменных применяется далее к самым различным задачам теории электромагнетизма.