Глава 5. Краевые задачи электродинамики

Решения задач электродинамики, как уже упоминалось, определяется внутренними граничными (краевыми) задачами. Среди уравнений, для которых ставятся такие граничные задачи, особое место занимают векторные уравнения Гельмгольца относительно комплексных амплитуд напряженностей поля.

Исследование свободных полей в ограниченных объемах порождает задачи на собственные значения (см. пример в п.7.2). Совокупности решений задач такого рода для уравнения Гельмгольца образуют системы функций, обладающих важными свойствами. С одной стороны, эти системы функций, как вы увидите в курсе электродинамики, имеют ясное физическое содержание: они описывают различные типы колебаний и волн. С другой же стороны, имея подобную систему функций, можно довольно произвольную функцию разложить в ряд, который сходен с обычным рядом Фурье. В виде ряда с неопределенными коэффициентами можно представить и заранее неизвестное решение граничной задачи, а затем - найти эти коэффициенты. Такой подход является основным средством при нахождении решений внутренних задач электродинамики. Останавливаясь на этих вопросах, мы рассмотрим некоторые свойства ортогональных систем функций, порождаемых оператором Лапласа, и соответствующие ряды, а затем - общую идею проекционных методов, имеющих большое значение при построении алгоритмов для электродинамических задач, реализуемых с помощью вычислительной техники. Попутно приводятся некоторые вспомогательные сведения (в том числе из алгебры), используемые в курсе электродинамики.