2.4. Концентрация носителей заряда

В общем случае концентрация свободных носителей заряда в кри­сталле может быть вычислена интегрированием произведения плот­ности квантовых состояний g(E) на функцию распределения f_F(E) по всем энергетическим уровням системы в соответствии с формулой.

n(E)dE=f(E,T)g(E)dE

Для определения концентрации электронов в зоне проводимости интегрирование следует производить от уровня дна зоны проводимости Е_с до верхнего уровня Е_так. Поскольку функция распределения быстро уменьшается с ростом энергии, то значение верхнего предела интегрирования без заметной погрешности расчета может быть сколь угодно увеличено или взято равным бесконечности. После интегрирования получим

(2.7.)

где N_C –эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Для концентрации дырок можно вывести аналогичное уравнение

(2.8.)

где N_V –эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Собственный полупроводник. Полученные формулы для концентраций электронов и дырок являются справедливыми как для собственного, так и для слаболегированного полупроводника. Существенная разница, однако, при · этом заключается в положении уровня Ферми. Найдем положение уровня Ферми и концентрацию носителей заряда для собственного? полупроводника.

Положение уровня Ферми в однородном кристалле определяется. из условия нейтральности. Дело в том, что в состоянии равновесия · уровень Ферми всех частей системы должен быть одинаков. В случае собственного или однородно легированного полупроводника постоянство уровня Ферми обусловлено отсутствием объемного заряда. Если'' по каким-либо причинам в таком полупроводнике возникнет объемный заряд, который приведет к изменению положения уровня Ферми, то создаваемое этим зарядом электрическое поле вызовет, такое перемещение электронов и дырок, которое компенсирует объемный заряд и восстановит исходный уровень Ферми.

В собственном полупроводнике условие нейтральности, позволяю­щее найти уровень Ферми, определяется равенством концентраций электронов и дырок p=n. Из этого равенства находится формула для уровня Ферми в собственном полупроводнике:

(2.9.)

Нетрудно видеть, что в собственном полупроводнике уровень Ферми проходит вблизи середины запрещенной зоны, причем величина смещения его в ту или иную сторону от середины зависит от отношения эффективных масс электрона и дырки. Если полученную формулу для уровня Ферми подставить в (2.7) и (2.8), то найдем концентрацию носителей заряда в собственном полупроводнике:

(2.10.)

При комнатной температуре в беспримесном германии n_i = 2,37.10¹³см^-3, а в беспримесном кремнии n_i = 1,38.10¹⁰ см ^-3.

Легированный полупроводник. Если в полупроводнике содержатся примеси или дефекты, обра­зующие донорные или акцепторные уровни в запрещенной зоне, то появляются дополнительные электронные переходы, изменяющие концентрацию носителей заряда и положение уровня Ферми. Кон­центрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне в этом случае описывается теми же выражениями (2.7) и (2.8), однако энергия уровня Ферми уже не определяется формулой (2.9), а яв­ляется функцией концентрации примесей. При определении положе­ния уровня Ферми в этом случае надо учитывать не только свободные носители заряда, но и электроны на акцепторных уровнях п_A и дырки на донорных уровнях р_D. Степень заполнения примесных уровней по-прежнему определяется функцией Ферми—Дирака. Если концент­рация примесей невелика, то их энергетический уровень является дискретным. В этом случае концентрация носителей заряда на примесных уровнях находится перемножением величины концентрации примесных атомов на значение функции Ферми—Дирака, которое она имеет на примесном уровне. Поэтому если энергии уровней акцеп­торов и доноров обозначить через Е_A и E_D, а их концентрации — соот­ветственно через N_A и N_D, то концентрации электронов на акцептор­ных уровнях п_A и дырок на донорных уровнях р_D могут быть выра­жены формулами:

(2.11.)

(2.12.)

В общем случае условие электрической нейтральности требует чтобы полная концентрация электронов равнялась полной концентрации дырок: -

n + n_A = p + p_D

В случае электронного полупроводника, в котором имеются только донорные уровни, при сравнительно низких температура когда переходы осуществляются только с донорных уровней в зону проводимости, концентрация дырок в валентной зоне ничтожно мала по сравнению с концентрацией свободных электронов (п > р). Поэтому условие нейтральности упрощается и приобретает вид n = р_D. При равнивая (2.7) и (2.12), получим выражение для уровня Ферми в случае электронного полупроводника:

(2.13.)

Если подставить полученное выражение в формулу (2.7) для концентрации электронов, то получим:

(2.14.)

Представляет определенный интерес нахождение концентрации неосновных носителей — дырок р_n в электронном полупроводнике. Для этого необходимо выражение для уровня Ферми (2.13) подставить в (2.8). После простых преобразований получим

(2.15.)

Найденное выражение устанавливает простую связь между концентра­цией основных и неосновных носителей заряда:

n_n p_n = n_i² (2.16.)

и доказывает, что произведение этих концентраций не зависит от по­ложения уровня Ферми и концентрации примеси, а определяется лишь температурой.

Найденная зависимость (2.16) обусловливается термодинамиче­ским равновесием в полупроводнике и называется законом действующих масс. Из этого закона следует, что с повышением кон­центрации донорной примеси и, следовательно, с ростом концентрации основных носителей наблюдается при постоянной температуре пропорциональное уменьшение концентрации неосновных носителей так, что их произведение остается постоянным и равным квадрату концентрации электронов в чистом полупроводнике. Закон действую­щих масс справедлив для любого невырожденного полупроводника в условиях термодинамического равновесия.

Рассмотрим далее поведение концентрации основных носителей при увеличении температуры. С повышением температуры концент­рация электронов в электронном полупроводнике возрастает до тех пор, пока не приблизится к концентрации доноров. Условием ней­тральности полупроводника в этом случае будет равенство п_n = N_D. Подставляя в это равенство выражение для концентрации электро­нов (2.8), после несложных преобразований получим формулу для уровня Ферми в рассматриваемом температурном диапазоне:

(2.17.)

Дальнейшее повышение температуры приводит к увеличению концентрации электронов проводимости за счет возбуждения их из валентной зоны. При этом наблюдается соответствующее увеличение и концентрации дырок. Если концентрация дырок в валентной зоне, возникших за счет возбуждения электронов в зону проводимости, значительно превысит концентрацию доноров N_D то полупроводник по своим свойствам оказывается близким к беспримесному. Действи­тельно, при этом концентрация электронов равна концентрации ды­рок, которая описывается формулой (2.10), уровень Ферми смещается в среднюю часть запрещенной зоны, совпадает с уровнем Ферми для беспримесного полупроводника и определяется формулой (2.9).

Аналогичные зависимости наблюдаются и в дырочном полупро­воднике, в котором имеются только акцепторные уровни. При низ­ких температурах концентрация дырок в валентной зоне равна числу электронов, перешедших на акцепторные уровни п_A. Выражение для уровня Ферми определяется, как и в предыдущем случае, из усло­вия n_A = p_P..

(2.!8.)

Подставляя найденное выражение для уровня Ферми в (2.8), получим формулу для концентрации дырок в дырочном полупроводнике:

(2.19.)

Концентрация неосновных носителей электронов может быть найдена по закону действующих масс:

(2.20.)

Как и в случае электронного полупроводника, с повышением тем­пературы в дырочном полупроводнике наступает такой момент, когда все акцепторы окажутся ионизированными, а концентрация дырок будет равна концентрации акцепторов р_P = N_D. Уровень Ферми в этом случае определяется как:

(2.21.)

Концентрация неосновных носителей — электронов — определяется в этом случае также по закону действующих масс.

При дальнейшем повышении температуры концентрация дырок начинает возрастать за счет переходов электронов из валентной зоны в зону проводимости. С момента, когда концентрация электронов в зоне проводимости, вы­званная этими переходами, окажется значительно боль­ше концентрации акцепто­ров, дырочный полупро­водник начинает вести себя как беспримесный.

Если в образце имеются оба сорта примесей — доноры и акцеп­торы, то тип проводимости определяется по преобладающей примеси. Если, например, концентрация доноров N_D больше концентрации ак­цепторов N_A, то при Т = 0 К все акцепторные уровни будут запол­нены электронами, перешедшими с доноров. Условием нейтральности в этом случае будет

N = p_D –N_A

где концентрация ионизированных доноров р_д по-прежнему опреде­ляется формулой (2.12), а концентрация свободных электронов выра­жается формулой (2.7). При повышении температуры все донорные уровни опустошатся и концентрация электронов станет постоянной и равной разности числа доноров и акцепторов:

n = N_D –N_A (2.22.)

Аналогичные закономерности наблюдаются в дырочном полупро­воднике, содержащем некоторое количество доноров.

Обычно в полупроводнике всегда имеется большее или меньшее количество неосновной примеси, т. е. доноров в дырочном полупровод­нике и акцепторов в электронном полупроводнике. Отношение числа неосновных центров к основным (N_D/N_A или N_A/N_D. соответственно) называют степенью компенсации, а образцы, содержа­щие оба вида центров, — компенсированными.