Полученное им во втором приближении решение

,

где m выбирается соответствующим образом, верно математически, но неверно физически, так как величины m и k между собой, как правило, не соизмеримы и функция не будет периодической. Поэтому вместо членадолжен стоять.

Остроградский, ограничившись в своей статье получением первого приближения, в конце нее высказал намерение приложить этот метод к движению планет вокруг Солнца. Именно в работах по определению орбит небесных тел идея основоположника российской школы математики получила дальнейшее развитие. Одним из первых таких трудов явилось исследование по теории возмущений шведского ученого А. Линстедта, работавшего в 1879–1886 гг. в Дерптском университете. В  1882 г. он предложил способ решения уравнения (8), опубликованный в статье «Об интегрировании дифференциальных уравнений теории возмущений» в Мемуарах Петербургской Академии Наук. Его подход состоит в том, что при поиске периодического решения уравнения (8) вводится новая переменная , а затемq и p ищутся в виде разложения по степеням малого параметра.

; (10)

Первый в член разложении –представляет собой частоту линейных колебаний, соответствующую значению, а последующие –подбираются из условия отсутствия секулярных членов. Подставляя разложение (10) в уравнение (8) после несложных преобразований можно получить приближенное решение. Например, с точностью до членов порядкаоно имеет вид

;

.

Следует отметить, что при частота колебаний растет, а при– убывает, а спектр разложениябудет содержать только нечетные гармоники. На рис. 3. приводится сравнение решений уравнения Дуффинга вида

при начальных условиях

,

полученное с точностью до второго приближения методом прямого разложения по малому параметру

и методом Линстедта – Пуанкаре.

Рис. 3. Решение уравнения Дуффинга: жирная сплошная линия –

точное решение, тонкая линия – метод прямого разложения по малому

параметру и черные точки – метод Линстедта – Пуанкаре

Весомый вклад в борьбе с секулярными членами в разложении решения внесли шведские астрономы Карл Болин (1889) и Иоганн Аугуст Гуго Гюльден (1893), которые усовершенствовали методику Линстедта. Динамические системы, рассматриваемые в астрономической теории возмущений консервативны, а в технике, как правило, нужно учитывать затухание и наличие источников энергии. В связи с этим методы астрономической теории возмущений не могут быть непосредственно перенесены в нелинейную механику.

Несмотря на то, что различные проблемы из области теории нелинейных колебаний были предметом исследования почти с самого начала исчисления бесконечно малых, строгие математические методы для исследования периодических решений нелинейных уравнений были впервые построены только в конце XIX века в бессмертных трудах А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. В трехтомном сочинении А. Пуанкаре «Новые методы небесной механики», изданной в 1892–1897 гг. содержится исследование сходимости приведенных рядов. Он анализирует понятие сходимости и дает определение асимптотического ряда. Пуанкаре предлагает считать сходящимся ряд, у которого быстро убывают первые члены, что особенно важно при решении практических задач. Вот как писал о вкладе А. Пуанкаре в развитие асимптотического анализа академик Н. Н. Моисеев: «Идеи асимптотического анализа появились очень давно. Но превращению их в самостоятельное направление математики, созданию культуры «асимптотического мышления» мы обязаны А. Пуанкаре. Его роль еще недостаточно оценена. Создание асимптотического анализа, создание основ топологии и качественной теории дифференциальных уравнений, открытие того, что математика – это, прежде всего, наука о качественном, и что число это всего лишь один из способов выражения качества, одна из качественных характеристик, и, наконец, открытие специальной теории относительности. Никто после Ньютона не дал человечеству так много идей и так много новых фактов».

Метод, основанный на разложении в ряд по степеням малого параметра, приводит, как правило, к расходящимся рядам, но получаемые при этом формулы при ограниченном числе членов вполне пригодны для практических вычислений. Эти ряды асимптотические в том смысле, что погрешность m-го приближения пропорциональна (m+1)-й степени малого параметра . Поэтому, если m фиксировано, то погрешность будет сколь угодно мала при достаточно малых значениях . Хотя при , сходимости решения и не получается, но для практических расчетов это все равно неосуществимо, поскольку при их проведении сложность определения коэффициентов при последующих степенях так быстро возрастает, что могут быть использованы приближения только очень невысокого порядка. Такие ряды до сих пор эффективно применяются в теории нелинейных колебаний.

Аналогичный подход к решению уравнения (9) применил А. М. Ляпунов в своей докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения», написанной в Харькове в 1892 году. В упомянутой работе содержится и исследование сходимости приведенных рядов. Оставив в 1902 году педагогическую деятельность, Ляпунов занялся применением асимптотических методов к задачам о фигурах равновесия вращающейся жидкости и получил в этой области выдающиеся результаты.

Таким образом, А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов внесли большой вклад в развитие метода малого параметра. Теория периодических решений Ляпунова, разработанная им для систем, названных системами Ляпунова, в дальнейшем была развита его последователями. Александр Михайлович, наряду с А. Пуанкаре, считается создателем метода малого параметра и метода интегральных многообразий. Н. Н. Моисеев отмечал, что значение теории малого параметра Ляпунова – Пуанкаре состоит не только в том, что она дает метод отыскания периодических решений квазилинейных уравнений. Эта теория также дает очень много для понимания того, как должны строиться методы исследования новых задач.

В начале XX века основоположник теории квазипериодических функций латвийский математик Пирс Георгиевич Боль (1865–1921) распространил результаты Пуанкаре – Ляпунова на более общий класс квазипериодических решений, которые имеют особое значение для практических приложений. Он рассматривал дифференциальные уравнения, соответствующие неавтопериодическим колебательным системам, т.е. системам, неспособным генерировать собственные незатухающие колебания, находящиеся под действием достаточно малого квазипериодического возмущения.

Точку в проблеме решения уравнения (9) поставил академик А. Н. Крылов, предложивший раскладывать в ряд не частоту, а ее квадрат

,

где – неизвестная постоянная, а коэффициенты– подбираются таким образом, чтобы в получаемых выраженияхвремяt не выходило за знак синуса или косинуса. Крылов показал, что его метод может быть применен и для других видов уравнений, описывающих и вынужденные колебания, и колебания с нелинейным демпфированием. Но в отличие от методов Лагранжа и Лапласа, он не требует решения сложной системы дифференциальных уравнений для уничтожения секулярных членов, а решать надо только одно алгебраическое уравнение с одной неизвестной. Например, решение уравнения (9) с точностью до членов третьего порядка относительно будет иметь вид

где .

Киевский ученый Н. М. Крылов в 1920-е гг. применил к рассматриваемому уравнению и другим, более общим классам линейных неоднородных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр, подход, предложенный Ляпуновым. Методы, разработанные им для решения нелинейных дифференциальных уравнений, стали основой для создания основ теории нелинейных колебаний. В настоящее время метод малого параметра широко применяется к исследованию нелинейных задач механики, физики и техники.