ИСтория рАзвития теории механических колебаний

Мы уже рассмотрели зарождение классической механики, сопротивления материалов и теории упругости. Важнейшей составной частью механики является также теория колебаний. Колебания являются основной причиной разрушения машин и сооружений. Уже к концу 1950-х гг. 80 % аварий техники происходило вследствие повышенных вибраций. Колебания также оказывают вредное воздействие на людей, связанных с эксплуатацией техники. Они также могут быть причиной отказа систем управления.

Несмотря на все это теория колебаний выделилась в самостоятельную науку только на рубеже XIX века. Однако расчеты машин и механизмов вплоть до начала XX века проводились в статической постановке. Развитие машиностроения, рост мощности и скорости паровых машин при одновременном снижении их веса, появление новых видов двигателей – ДВС и паровых турбин привело к необходимости проведения расчетов прочности с учетом динамических нагрузок. Как правило, новые задачи теории колебаний возникали в технике под влиянием аварий или даже катастроф, происходящих от повышенных вибраций.

Колебаниями называется движение или изменение состояния, обладающее той или иной степенью повторяемости.

Теорию колебаний можно разделить на четыре периода.

I период – зарождение теории колебаний в рамках теоретической механики (конец XVI века – конец XVIII века). Этот период характеризуется зарождением и развитием динамики в трудах Галилея, Гюйгенса, Ньютона, д'Аламбера, Эйлера, Д. Бернулли и Лагранжа.

Основоположником теории колебаний стал Леонард Эйлер. В 1737 г. Л. Эйлер по поручению Санкт-Петербургской Академии наук начал исследования о равновесии и движении корабля и в 1749 г. его книга «Корабельная наука» была издана в Петербурге. Именно в этом сочинении Эйлера заложены основы теории статической устойчивости и теории колебаний.

Жан Лерон д'Аламбер в своих многочисленных трудах рассмотрел отдельные задачи, такие как малые колебания тела вокруг центра масс и вокруг оси вращения в связи с задачей о прецессии и нутации Земли, колебания маятника, плавающего тела, пружины и т.д. Но общей теории колебаний д'Аламбер не создал.

Важнейшим применением методов теории колебаний было экспериментальное определение жесткости проволоки на кручение, проведенное Шарлем Кулоном. Опытным путем Кулон установил также свойство изохронности малых колебаний и в этой задаче. Исследуя затухание колебаний, этот великий экспериментатор пришел к выводу о том, что главной его причиной является не сопротивление воздуха, а потери от внутреннего трения в материале проволоки.

Большой вклад в основы теории колебаний внесли Л. Эйлер, заложивший основы теории статической устойчивости и теории малых колебаний, д'Аламбер, Д. Бернулли и Лагранж. В их работах сформировались понятия периода и частоты колебаний, формы колебаний, вошел в обиход термин малые колебания, был сформулирован принцип суперпозиции решений, сделаны попытки разложения решения в тригонометрический ряд.

Первыми задачами теории колебаний были задачи колебаний маятника и струны. О колебаниях маятника мы уже говорили – практическим результатом решения этой задачи стало изобретение Гюйгенсом часов.

Что касается задачи о колебаниях струны – то это одна из самых важных задач в истории развития математики и механики. Рассмотрим ее подробнее.

Струна акустики это идеальная ровная, тонкая и гибкая нить конечной длины из твердого материала, натянутая между двумя неподвижными точками. В современной трактовке задача о поперечных колебаниях стру­ны длины l сводится к нахождению решения дифференциального уравнения (1) в частных производных. Здесьx – координата точки струны вдоль длины, а y – ее поперечное смещение; H – натяжение струны, – ее погонная масса.a это скорость распространения волны. Аналогичное уравнение также описывает и продольные колебания столба воздуха в трубе.

При этом должно быть задано начальное распределение отклонений точек струны от прямой линии и их скоростей, т.е. уравнение (1) должно удовлетворять начальным условиям (2) и граничным условиям (3).

Первые фундаментальные экспериментальные исследования колебаний струны провели голландский математик и механик Исаак Бекман (1614–1618) и М. Мерсенн, который установил ряд закономерностей и опубликовал свои результаты в 1636 г. в «Книге о созвучиях»:

Закономерности Мерсенна были в 1715 г. теоретически подтверждены учеником Ньютона Бруком Тейлором. Он рассматривает струну как систему материальных точек и принимает такие допущения: все точки струны одновременно проходят свои положения равновесия (совпадают с осью x) и сила, действующая на каждую точку, пропорциональна ее смещению y относительно оси x. Это означает, что он сводит задачу к системе с одной степенью свободы – уравнение (4). Тейлор правильно получил первую собственную частоту (основной тон) – (5).

Далее решением этой задачи занялись самые выдающиеся математики XVIII века – д'Аламбер, Эйлер, Даниил Бернулли и Лагранж.

Д'Аламбер в 1747 г. для данной задачи применил метод сведения задачи динамики к задаче статики (принцип д'Аламбера) и получил диф­ференциальное уравнение колебаний однородной струны в частных произ­водных (1) – первое уравнение математической физики. Решение этого уравнения он искал в виде суммы двух произвольных функций (6)

,

где и– периодические функции периода 2l. При выяснении вопроса о виде функций ид'Аламбер учитывает граничные условия (1.2), предполагая, что приструна совпадает с осьюx. Значение же в постановке задачи не указывается.

Эйлер рассматривает частный случай, когда при струна отклонена от положения равновесия и отпущена без начальной скорости. Существенным является то, что Эйлер не накладывает никаких ограничений на начальную форму струны, т.е. не требует, чтобы она могла быть задана аналитически, рассматривая любую кривую, которая «может быть начерчена от руки». Окончательный результат, полученный автором: если приформа струны описывается уравнением, то колебания выглядят так (7). Эйлер пересмотрел свои взгляды на понятие функции, в отличие от прежнего представления о ней только как аналитическом выражении. Тем самым был расширен класс функций, подлежащих изучению в анализе, а Эйлер пришел к выводу о том, что «поскольку любая функция будет задавать некоторую линию, то справедливо и обратное – кривые линии можно сводить к функциям».

Решения, полученные д'Аламбером и Эйлером, представляют закон колебаний струны в виде двух волн, бегущих навстречу друг другу. При этом они не сошлись в вопросе о виде функции, задающей линию изгиба.

Д. Бернулли в изучении колебаний струны пошел другим путем, разбивая струну на материальные точки, количество которых считал бесконечным. Он вводит понятие простого гармонического колебания системы, т.е. такого ее движения, при котором все точки системы колеблются синхронно с одинаковой частотой, но разными амплитудами. Опыты, произведенные со звучащими телами, навели Д. Бернулли на мысль о том, что самое общее движение струны состоит в одновременном совершении всех доступных ей движений. Это так называемая суперпозиция решений. Таким образом, в 1753 г., исходя из физических соображений, он получил общее решение для колебаний струны, представив его в виде суммы частных решений, при каждом из которых струна изгибается в виде характерной кривой (8).

В этом ряду первая форма колебаний представляет собой половину синусоиды, вторая – целую синусоиду, третья состоит из трех полусинусоид и т.д. Их амплитуды представляются в виде функций времени и, по существу, являются обобщенными координатами рассматриваемой системы. Согласно решению Д. Бернулли движение струны представляет собой бесконечный ряд гармонических колебаний с периодами . При этом количество узлов (неподвижных точек) на одно меньше номера собственной частоты. Ограничивая ряд (8) конечным числом слагаемых, мы для континуальной системы получим конечное число уравнений.

Однако в решении Д. Бернулли содержится неточность – в нем не учитывается, что сдвиг фазы у каждой гармоники колебаний свой.

Д. Бернулли, представив решение в виде тригонометрического ряда, использовал принцип суперпозиции и разложение решения по полной системе функций. Он справедливо полагал, что с помощью различных слагаемых формулы (8) можно объяснить гармонические тоны, которые струна издает одновременно со своим основным тоном. Он рассматривал это как общий закон, справедливый для любой системы тел, совершающей малые колебания. Однако физическая мотивировка не может заменить математического доказательства, которое тогда представлено не было. Из-за этого коллеги не поняли решения Д. Бернулли, хотя еще в 1737 г. К. А. Клеро использовал разложение функций в ряд.

Наличие двух различных способов решения задачи о колебаниях струны вызвал среди ведущих ученых XVIII в. бурную полемику – «спор о струне». Этот спор главным образом касался вопросов о том, какой вид имеют допустимые решения задачи, об аналитическом представлении функции и можно ли представить произвольную функцию в виде тригонометрического ряда. В «споре о струне» получило развитие одно из самых важных понятий анализа – понятие функции.

Д'Аламбер и Эйлер были не согласны с тем, что решение, предложенное Д. Бернулли, может быть общим. В частности, Эйлер никак не мог согласиться с тем, что этот ряд может представлять любую «свободно начерченную кривую», как он сам теперь определял понятие функции.

Жозеф Луи Лагранж, вступив в полемику, разбил струну на малые дуги одинаковой длины с массой, сосредоточенной в центре, и исследовал решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с конечным числом степеней свободы. Переходя затем к пределу, Лагранж получил результат, аналогичный результату Д. Бернулли, не постулируя, однако, заранее то, что общее решение должно быть бесконечной суммой частных решений. При этом он уточняет решение Д. Бернулли, приводя его в виде (9), а также выводит формулы для определения коэффициентов этого ряда. Хотя решение основателя аналитической механики не соответствует всем требованиям матема­тической строгости, оно было заметным шагом вперед.

Что касается разложения решения в тригонометрический ряд, то Лагранж считал, что при произвольных начальных условиях ряд расходится. Спустя 40 лет, в 1807 г. Ж. Фурье вновь нашел разложение функции в тригонометрический ряд в третий раз и показал, как можно этим пользоваться для решения поставленной задачи, подтвердив тем самым правильность решения Д. Бернулли. Полное аналитическое доказательство теоремы Фурье о разложении однозначной периодической функции в тригонометрический ряд было приведено в интегральном исчислении Тодгёнтера и в «Трактате по натуральной философии» Томсона (лорд Кельвин) и Тэта.

Исследования свободных колебаний натянутой струны продолжались два столетия, если считать от работ Бекмана. Эта задача послужила мощным стимулом для развития математики. Рассматривая колебания континуальных систем, Эйлер, д'Аламбер и Д. Бернулли создали новую дисциплину – математическую физику. Математизация физики, т.е. изложение ее посредством нового анализа – величайшая заслуга Эйлера, благодаря которой были проложены новые пути в науке. Логическим развитием результатов Эйлера и Фурье явилось известное определение функции Лобачевским и Лежён Дирихле, основанное на идее взаимно однозначного соответствия двух множеств. Дирихле также доказал возможность разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функций. Было также получено одномерное волновое уравнение и установлена равноправность двух его решений, что математически подтвердило связь между колебаниями и волнами. То, что колеблющаяся струна порождает звук, натолкнуло ученых на мысль об идентичности процесса распространения звука и процесса колебания струны. Была также выявлена важнейшая роль граничных и начальных условий в подобных задачах. Для развития механики важным результатом стало применение принципа д'Аламбера для записи дифференциальных уравнений движения, а для теории колебаний эта задача также сыграла очень важную роль, а именно, был применен принцип суперпозиции и разложение решения по собственным формам колебаний, сформулированы основные понятия теории колебаний – собственная частота и форма колебаний.

Полученные для свободных колебаний струны результаты послужили основой для создания теории колебаний континуальных систем. Дальнейшее же изучение колебаний неоднородных струн, мембран, стержней требовало нахождения специальных методов для решения простейших уравнений гиперболического типа второго и четвертого порядков.

Задача о свободных колебаниях натянутой струны заинтересовала ученых, разумеется, не своим практическим приложением, законы этих колебаний были в той или иной мере известны мастерам, изготавливающим музыкальные инструменты. Об этом свидетельствуют непревзойденные струнные инструменты таких мастеров, как Амати, Страдивари, Гварнери и других, чьи шедевры были созданы еще в XVII веке. Интересы величайших ученых, занимавшихся этой задачей, скорее всего, заключались в стремлении подвести математическую основу под уже существующие законы колебаний струны. В этом вопросе проявился традиционный путь любой науки, начинающийся с создания теории, объясняющей уже известные факты, чтобы затем находить и исследовать непознанные явления.

II период – аналитический (конец XVIII века – конец XIX века). Важнейший шаг в развитии механики удалось совершить Лагранжу, создавшему новую науку – аналитическую механику. Начало второго периода развития теории колебаний связано с работами Лагранжа. В книге «Аналитическая механика», изданной в Париже в 1788 г., Лагранж подвел итог всему, что было сделано в механике в XVIII веке, и сформулировал новый подход к решению ее проблем. В учении о равновесии он отказался от геометрических методов статики и предложил принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа). В динамике Лагранж, применив одновременно принцип д'Аламбера и принцип возможных перемещений, получил общее вариационное уравнение динамики, которое также носит название принципа д'Аламбера  – Лагранжа. Наконец, он ввел в обиход понятие обобщенных координат и получил уравнения движения в наиболее удобной форме – уравнения Лагранжа II рода.

Эти уравнения стали основой для создания теории малых колебаний, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Линейность редко присуща механической системе, а в большинстве случаев является результатом ее упрощения. Рассматривая малые колебания вблизи положения равновесия, которые осуществляются с малыми скоростями, можно в уравнениях движения отбросить члены второго и высших порядков относительно обобщенных координат и скоростей.

Применяя уравнения Лагранжа II рода для консервативных систем

, (10)

мы получим систему s линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

, (11)

где I и C – соответственно матрицы инерции и жесткости, компонентами которых будут инерционные и упругие коэффициенты.

Частное решение (11) ищется в виде

(12)

и описывает моногармонический колебательный режим с частотой k, одинаковой для всех обобщенных координат. Дифференцируя (12) дважды по t и подставляя результат в уравнения (11), получим систему линейных однородных уравнений для нахождения амплитуд в матричной форме

. (13)

Поскольку при колебаниях системы все амплитуды не могут равняться нулю, нулю равен определитель

. (14)

Уравнение частот (14) получило название векового уравнения, так как впервые его рассмотрели Лагранж и Лаплас в теории вековых возмущений элементов планетных орбит. Оно является уравнением s-й степени относительно , число его корней равно числу степеней свободы системы. Эти корни принято располагать в порядке возрастания, при этом они образуют спектрсобственных частот. Каждому корню соответствует частное решение вида (12), совокупностьs амплитуд представляют собой форму колебаний, а общее решение – сумму этих решений.

Лагранж придал утверждению Д. Бернулли о том, что общее колебательное движение системы дискретных точек состоит в одновременном совершении всех ее гармонических колебаний, вид математической теоремы, воспользовавшись теорией интегрирования дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, созданной Эйлером в 40-е годы XVIII в. и достижениями д'Аламбера, показавшего, как интегрируются системы таких уравнений. При этом надо было доказать, что корни векового уравнения вещественны, положительны и не равны между собой.

Таким образом, в «Аналитической механике» Лагранж получил уравнение частот в общем виде. Вместе с тем он повторяет ошибку, допущенную д'Аламбером в 1761 г., о том, что кратные корни векового уравнения соответствуют неустойчивому решению, так как якобы при этом в решении появляются вековые или секулярные члены, содержащие t не под знаком синуса или косинуса. В связи с этим и д'Аламбер, и Лагранж считали, что уравнение частот не может иметь кратных корней (парадокс д'Аламбера – Лагранжа). Достаточно было Лагранжу рассмотреть хотя бы сферический маятник или колебания стержня, сечение которого является, например, круглым или квадратным, чтобы убедиться, что кратные частоты в консервативных механических системах возможны. Ошибка, допущенная в первом издании «Аналитической механики» повторилась и во втором издании (1812 г.), вышедшем еще при жизни Лагранжа, и в третьем (1853 г.). Научный авторитет д'Аламбера и Лагранжа был так высок, что эту ошибку повторили и Лаплас, и Пуассон, а исправили ее только лишь спустя почти 100 лет независимо друг от друга в 1858 г. К. Вейерштрасс и в 1859 г. – Осип Иванович Сомов, который внес большой вклад в развитие теории колебаний дискретных систем.

Таким образом, для определения частот и форм свободных колебаний линейной системы без сопротивления нужно решить вековое уравнение (13). Однако уравнения степени выше пятой аналитического решения не имеют.

Проблемой было не только решение векового уравнения, но и, в большей степени, составление его, так как развернутый определитель (13) имеет слагаемых, например, для системы с 20 степенями свободы количество слагаемых 2,4·10¹⁸, а время раскрытия такого определителя для самой мощной ЭВМ 1970-х гг., выполняющей 1  млн. операций в секунду, составляет примерно 1,5 млн. лет, а для современного компьютера «всего» несколько сот лет.

Задачу определения частот и форм свободных колебаний можно также рассматривать как задачу линейной алгебры и решать численно. Переписав равенство (13) в виде

, (14)

заметим, что матрица-столбец является собственным вектором матрицы

, (15)

а ее собственным значением.

Решение проблемы собственных значений и векторов является одной из самых привлекательных задач численного анализа. При этом для решения всех задач, встречающихся на практике, нельзя предложить единого алгоритма. Выбор алгоритма зависит от вида матрицы, а также от того, нужно ли определять все собственные значения или только наименьшие (наибольшие) или близкие к данному числу. В 1846 г. Карл Густав Якоб Якóби для решения полной проблемы собственных значений предложил итерационный метод вращений. Метод основан на такой бесконечной последовательности элементарных вращений, которая в пределе преобразует матрицу (15) в диагональную. Диагональные элементы полученной матрицы и будут искомыми собственными значениями. При этом для определения собственных значений требуется арифметических операций, а для собственных векторов ещеопераций. В связи с этим метод в XIX в. не нашел применения и был забыт более чем на сто лет.

Следующим важным шагом в развитии теории колебаний были работы Рэлея, особенно его фундаментальный труд «Теория звука». В этой книге Рэлей с единой точки зрения рассматривает колебательные явления в механике, акустике и электрических системах. Рэлею принадлежит ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний (теоремы о стационарности и свойствах собственных частот). Рэлей сформулировал и принцип взаимности. По аналогии с кинетической и потенциальной энергией он ввел диссипативную функцию, получила имя Рэлея и представляет собой половину скорости рассеивания энергии.

В «Теории звука» Рэлей также предлагает приближенный метод определения первой собственной частоты консервативной системы

, (16)

где . При этом для вычисления макси­мальных значений потенциальной и кинетической энергий берется некоторая форма колебаний. Если она совпадет с первой формой колебаний системы, мы получим точное значение первой собственной частоты, а в противном случае это значение всегда завышено. Метод дает вполне приемлемую для практики точность, если в качестве первой формы колебаний взять статическую деформацию системы.

Таким образом, еще в XIX веке в трудах Сомова и Рэлея сформировалась методика построения дифференциальных уравнений, описывающих малые колебательные движения дискретных механических систем с помощью уравнений Лагранжа II рода

, (17)

где в обобщенную силу должны быть включены все силовые факторы, за исключением упругих и диссипативных, охваченных функциямиR и П.

Уравнения Лагранжа (17) в матричной форме, описывающие вынужденные колебания механической системы, после подстановки всех функций выглядят так

. (18)

Здесь – матрица демпфирования, а– векторы-столбцы соответственно обобщенных координат, скоростей и ускорений. Общее решение данного уравнения состоит из свободных и сопровождающих колебаний, которые всегда являются затухающими и вынужденных колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы. Ограничимся рассмотрением только частного решения, соответствующего вынужденным колебаниям. В качестве возбуждения Рэлей рассматривал обобщенные силы, изменяющиеся по гармоническому закону. Многие относили этот выбор к простоте рассматриваемого случая, однако Рэлей приводит более убедительное объяснение – разложение в ряд Фурье.

Таким образом, для механической системы, имеющей свыше двух степеней свободы, решение системы уравнений представляет определенные трудности, которые лавинообразно возрастают при возрастании порядка системы. Уже при пяти – шести степенях свободы задача о вынужденных колебаниях классическим способом вручную решена быть не может.

В теории колебаний механических систем малые (линейные) колебания дискретных систем сыграли особую роль. Разработанная для линейных систем спектральная теория не требует даже построения дифференциальных уравнений, а для получения решения можно сразу записать системы линейных алгебраических уравнений. Хотя в середине XIX века и были разработаны методы определения собственных векторов и собственных значений (Якоби), а также решения системы линейных алгебраических уравнений (Гаусс), о практическом их применении даже для систем с небольшим числом степеней свободы не могло быть и речи. Поэтому до появления достаточно мощных ЭВМ было разработано множество различных способов решения задачи о свободных и вынужденных колебаниях линейных механических систем. Многие выдающиеся ученые – математики и механики занимались этими задачами, речь о них пойдет ниже. Появление мощной вычислительной техники позволило не только в доли секунды решать линейные задачи большой размерности, но и автоматизировать сам процесс составления систем уравнений.

Таким образом, в течении XVIII в. в теории малых колебаний систем с конечным числом степеней свободы и колебаний континуальных упругих систем были выработаны основные физические схемы и разъяснены принципы, существенные для математического анализа проблем. Однако для создания теории механических колебаний как самостоятельной науки не хватало единого подхода к решению задач динамики, а для более быстрого ее развития не было запросов техники.

Рост крупной промышленности в конце XVIII – начале XIX века, вызванный повсеместным внедрением паровой машины обусловил выделение прикладной механики в отдельную дисциплину. Но вплоть до конца XIX века расчеты на прочность велись в статической постановке, так как машины были еще маломощными и тихоходными.

К концу XIX века, с ростом скоростей и уменьшением габаритов машин пренебрегать колебаниями стало невозможно. Многочисленные аварии, происходившие от наступления резонанса или усталостного разрушения при колебаниях, заставили инженеров обратить внимание на колебательные процессы. Из возникших в этот период проблем следует отметить следующие: обрушение мостов от проходящих поездов, крутильные колебания валопроводов и вибрации судовых корпусов, возбуждаемые силами инерции движущихся частей неуравновешенных машин.

III период – становление и развитие прикладной теории колебаний (1900–1960-е гг.). Развивающееся машиностроение, совершенствование локомотивов и кораблей, появление паровых и газовых турбин, быстроходных ДВС, автомобилей, самолетов и т.д. потребовали более точного анализа напряжений в деталях машин. Это было продиктовано требованиями более экономного использования металла. Облегчение конструкций породило проблемы вибраций, которые все чаще становятся решающими в вопросах прочности машин. В начале XX века многочисленные аварии убедительно показывают, к каким катастрофическим последствиям может привести пренебрежение вибрациями или незнание их.

Появление новой техники, как правило, ставит новые задачи перед теорией колебаний. Так в 30–40-е гг. возникли новые задачи, такие как срывной флаттер и шимми в авиации, изгибные и изгибно-крутильные колебания вращающихся валов и др., что потребовало разработки новых методов расчетов колебаний. В конце 20-х годов сначала в физике, а затем и в механике начинается исследование нелинейных колебаний. В связи с развитием систем автоматического управления и другими запросами техники, начиная с 30-х гг., получила широкое развитие и применение теория устойчивости движения, основой которой послужила докторская диссертация А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения».

Отсутствие аналитического решения для задач теории колебаний даже в линейной постановке, с одной стороны, а вычислительной техники – с другой, привело к разработке большого количества разнообразных численных методов их решения.

Необходимость проведения расчетов колебаний для различных видов техники привело появлению в 1930-е годы первых учебных курсов теории колебаний.

Переход к IV периоду (начало 1960-х годов – настоящее время) связан с эпохой НТР и характеризуется появлением новой техники, в первую очередь авиационной и космической, робототехнических систем. Кроме того, развитие энергомашиностроения, транспорта, и др. выдвинуло проблемы динамической прочности и надежности на первое место. Это объясняется возрастанием эксплуатационных скоростей и снижением материалоемкости с одновременным стремлением к повышению ресурса машин. В теории колебаний все больше задач решается в нелинейной постановке. В области колебаний континуальных систем, под влиянием запросов авиационной и космической техники возникают задачи динамики пластин и оболочек.

Наибольшее влияние на развитие теории колебаний в этом периоде оказывает появление и стремительное развитие электронной вычислительной техники, обусловившее развитие численных методов расчетов колебаний.