Тема 7. Закон больших чисел

Заканчивается раздел «Теория вероятностей» темой 7 – «Закон больших чисел» . Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Так, в теореме Чебышева утверждается, что средняя арифметическая п независимых случайных величин – величина случайная – при приближается (точнее сходится по вероятности) к средней арифметической их математических ожиданий – величине неслучайной, т.е. практически перестает быть случайной. А втеореме Бернулли доказывается, что случайная величина – статистическая вероятность или частость события в п повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа п приближается (сходится по вероятности) к вероятности р этого события в отдельном испытании – величине неслучайной. Так, например, если вероятность рождения мальчика нам не известна, то в качестве ее значения на основании теоремы Бернулли мы можем принять частость (статистическую вероятность) этого события, которая, как известно по многолетним статистическим данным, составляет приближенно 0,515.

Обратите внимание на понятиеcxo димости по вероятности , под которой понимается стремление случайной величины к постоянной величине с вероятностью, как угодно близкой к единице при

Прежде чем доказать указанные основные теоремы, в теме рассматриваются неравенство Маркова или лемма Чебышева, (применяемое для неотрицательных случайных величин), и неравенство Чебышева, (применимое для любых случайных величин). При использовании этих неравенств следует учесть, что они дают лишь верхнюю или нижнюю границы вероятности рассматриваемого события.

Завершая обзор учебного материала по разделу «Теория вероятностей» следует отметить, что усвоение этого материала предполагает решение достаточно большого числа задач, в частности, с помощью компьютерной программы «КОПР2».