Тема 5. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

В теме 5 «Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения» рассматриваются два фундаментальных понятия – функция распределения и плотность вероятности случайной величины. Функция распределения F (x ) представляет для каждого х вероятность того, что случайная величинаX примет значение, меньшее х:

Плотностью вероятности или плотностью распределения случайной величины X называется производная ее функции распределения: Обратите внимание на свойства функции распределения и плотности вероятности и их графическую иллюстрацию. Так, функция распределения – неубывающая функция; принимает значения от 0 до 1 ; на минус бесконечности а на плюс бесконечности –а приращение функции распределения на интервале [x ₁ , x ₂ ) ( включая х ₁) есть вероятность попадания случайной величины в этот интервал:

Плотность вероятности есть неотрицательная функция. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в любой интервал, а следовательно, и функция распределения, находятся интегрированием плотности вероятности на этом интервале и геометрически представляют собой соответствующие площади под кривой распределения. Нужно знать, что кривая распределения , т.е.график плотности вероятности , лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Из непрерывных случайных величин особо важное значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать формулу плотности вероятности нормального закона и ее график – нормальную или гауссову кривую, теоретико-вероятностный смысл его параметров, выражение функции распределенияF _N (x ) через функцию Лапласа Ф( х), свойства нормально распределенной случайной величины. Надо четко представлять, что при изменении только параметраa , являющегося математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины, меняется положение нормальной кривой,aпри изменении только параметра Г ², являющегося дисперсией этой величины, меняется форма нормальной кривой. Часто используемое на практике правило трех сигм гласит, что практически достоверно, что значения нормально распределенной случайной величины заключены в интервале (a –3Г,a +3Г), т.е. практически весь диапазон ее значении составляет шесть сигм.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых случайных величин при Об этом говорит теорема Ляпунова.