Тема 3. Повторные независимые испытания

В теме 3 «Повторные независимые испытания» изучается схема Бернуллu – последовательность независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью независимо от исходов других испытаний.

Для нахождения вероятностиP _{m , n} того, что А появилосьm раз вn независимых испытаниях, еслиn – небольшое число, используется точная формула Бернулли:

где При большихn нахождение вероятностей по указанной формуле представляет собой довольно сложную техническую задачу, однако во многих случаях ту же вероятность удается найти приближенно с помощью асимптотических формул. Поэтому при достаточно большом числеn испытаний для нахождения вероятности P _{m , n} того, что событие А наступитm раз вn независимых испытаниях, используется формула Пуассона (если вероятность р – мала, так что число ) или локальнаяформула Муавра – Лапласа (если вероятность р не близка к нулю и единице и произведение , где). Если необходимо найти вероятности числаm (частностиm / n ) появления события, заключенного (ной) в некоторых пределах, то при том же условии может быть использованаинтегральная теорема Муавра – Лапласа и ее следствия.

Обратите внимание, что используемые в отмеченных выше асимптотических формулах функции Пуассона , Гауссаf ( х) и Лапласа Ф(x ) табулированы (см. соответственно таблицы 3, 1 и 2 приложений к учебнику), и расчеты вероятностей по этим формулам рекомендуется проводить с помощью соответствующих таблиц. При этом надо учитывать, что функция Гаусса – четная, т.е.f ( –x ) =f (x ), а функция Лапласа Ф( х) – нечетная, т.е. Ф( –х) =Ф( х) , а при х>4 можно считать, что а Ф(х) 1 .