7. Равновеликость и равносоставленность многоугольников
Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны. Их можно разбить на одинаковые
Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разбить на одинаковое количество попарно равных многоугольников.
Очевидно, что равносоставленные многоугольники равновелики. Верно ли обратное? На этот вопрос отвечает
Теорема 11.1 (Бойяи-Гервина) Равновеликие многоугольники равносоставлены.
Для доказательства нам потребуются пять следующих лемм.
Лемма 1 (транзитивность равносоставленности). Два многоугольника, равносоставленные с третьим, равносоставленны между собой.
Лемма 2. Любые два параллелограмма с одинаковыми основаниями и высотами, проведенными к этим основаниям , равносоставлены.
Лемма 3. Любой треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту.
Лемма 4. Два равновеликих треугольника равносоставены.
Лемма 5. Любой многоугольник (простой) равносоставлен с некоторым треугольником.
Доказательство теоремы Бойяи-Гервина.
Дано: многоугольник Ф1 равновелик многоугольнику Ф2.
Доказать: Многоугольники Ф1 и Ф2 равносоставленны.
Построим треугольник ∆1 , равносоставленный с многоугольником Ф1 (такой треугольник существует по лемме 5) и треугольник ∆2 , равносоставленный с многоугольником Ф2. Треугольники ∆1 и ∆2 равновелики. По лемме 4 они равносоставлены. Получаем: Ф1 равносоставлен с ∆1 , ∆1равносоставлен с ∆2, а он равносоставлен с Ф2. По лемме 1 (транзитивность равносоставленности) Ф1 и Ф2 равносоставленны.
8.
9.
10.
- 1.Методы обучения математике.
- Эвристический метод.
- Вопросно-ответный метод.
- Алгоритмический метод.
- Методы элементарных и неэлементарных задач.
- 2. Подготовка учителя к уроку
- 2. Этапы изучения теоремы
- 4 . Методика формирования понятий
- 6.Методика изучения многогранников в шк. Курсе математики. Теорма Эйлера для многогранников.
- 7. Равновеликость и равносоставленность многоугольников