Многомерные задачи оптимизации.
Подавляющее число задач оптимизации зависят от нескольких параметров.
Характер задачи и методы ее решения зависят от той информации о целевой функции , которая стала доступной в результате исследования. Методы поиска наименьшего значения функции:
Задачи с ограничениями-равенствами. Множители Лагранжа.
В рассмотрение вводится функция
Заметим, что
Теорема:
Пусть функция f дифференцируема в точке , отображение F дифференцируемо в некоторой окрестности этой точки, причем его производная непрерывна в точке .
Тогда если является локальным решением задачи , то найдется такой элемент λ , для которого .
Точка называется стационарной точкой задачи, если . Множитель λ называют множителем Лагранжа, отвечающим точке .
Систему уравнений называют системой Лагранжа.
Пример:
Найти экстремальные точки функции на единичной окружности
Существование точек глобального максимума и минимума вытекает из теоремы Вейерштрасса. Очевидно что для функции F(x)=