Одномерные задачи оптимизации
Постановка задачи :
Найти наименьшее ( или наибольшее) значение целевой функции f , заданной на множестве D, принадлежащем арифметическому множеству чисел Rn .
Точки множества D называют допустимыми точками, D –допустимое множество, f - целевая функция задачи.
Определение:
Точка называется глобальным решением задачи , если
И точка есть локальное решение задачи , если найдется окрестность U точки , в которой .
Точки экстремума еще называют стационарными.
Понятно , что всякое глобальное решение будет локальным, но не всегда наоборот. Всякую задачу максимизации можно заменить эквивалентной задачей минимизации.
Известно , что в математическом анализе теорема Вейерштрасса ( о существовании для функции , определенной и непрерывной на некотором промежутке , экстремальных значений ) в данном случае играет роль теоремы существования – решение будет всегда. Однако при не замкнутом пространстве применение теоремы невозможно.
А вот методы , которыми осуществляется поиск этих экстремумов , могут быть различными. Будем рассматривать наиболее простой класс задач ( аналог задаче о консервной банке). Полагаем, что целевая функция дифференцируема на промежутке и есть возможность найти явное выражение для ее производной.
Скорость изменения функции в стационарных точках равна нулю.
Правило решения оптимизации для рассматриваемого класса функций:
На заданном промежутке осуществить поиск стационарных точек , вычислить в них значения самой функции , определить значения функции в граничных точках и сравнивая полученные величины определить наименьшее и наибольшее значение функции . В самом идеальном и простом случае , решение можно найти аналитически , но в реальной жизни может вообще не существовать никакой формулы для целевой функции, только знаем ее значения для любой из точек заданного промежутка ( в результате эксперимента).
Значит решать надо численно.
Определяя значения непрерывной функции f(x) в некотором конечном числе точек заданного отрезка [a,b] , нужно приближенно найти наименьшее ( наибольшее) значение на данном отрезке.
Чаще всего допустимое множество задачи задается в следующем виде:
P – прямые ограничения, F,G –функциональные ограничения .Такое деление весьма условно и в каждом конкретном случае решается исходя из условий задачи.