Асимптоты

Определение 6. Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции , если- БМФ при, т.е..

Теорема 6. Функция имеет наклонную асимптоту тогда и только тогда, когда , а .

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция имеет наклонную асимптоту. Тогда по определению. Разделим обе части равенства наи получим:.

Перейдем к пределу при :

. Следовательно,

Рассмотрим . Перейдем к пределу:

.

Достаточность. Пусть ,. Тогда рассмотрим функциюв окрестности бесконечно удаленной точки:

где

=>

. ■

Замечание. Если , то говорят, что функция имеетгоризонтальную асимптоту .

Замечание. Если на отрезке функция имеет разрыв второго рода в точке, то прямаяназываетсявертикальной асимптотой.

Алгоритм исследования функции и построения графиков

1. Находим область определения функции и точки разрыва.

2. Находим и наклонные асимптоты.

3. Исследуем функцию на четность / нечетность, периодичность / непериодичность.

4. Находим нули функции ().

5. Строим сетку и эскиз графика.

6. Находим критические точки.

7. Из критических точек выбираем точки экстремума, находим значения функции в этих точках.

8. Находим точки перегиба () и значения функции в этих точках.

9. Исследуем вторую производную (где функция выпукла / вогнута).

19