Дифференцирование функций, заданных неявно

Определение 2. Пусть для каждой точки и плоскости существует единственное число. Тогда говорят, что на плоскости задана функциядвух переменныхи.

Определение 3. Придавая постоянные значения числу z (), получим уравнения, задающие линии в пространстве. Тогда функция , заданная уравнением , называетсязаданной неявно.

Для того, чтобы продифференцировать неявно заданную функцию , необходимо продифференцировать обе части уравнения .Пример. Если , то уравнение задает окружности с центром на оси . Найдем производную функции , заданной уравнением : .

Формулы дифференцирования

1)

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как

, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■

2) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как, то. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■

3) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 3 из второго замечательного предела. ■

4) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как

, то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции. ■

5) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как

, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■

6).

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим

. ■

7) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим

■

8) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим. ■

9) .

10) .

11) .