Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование применяется для вычисления производной дробных (целых) выражений, имеющих много скобок и выражений вида . Для начала необходимо прологарифмировать выражение, затем взять производную от обеих частей, учитывая, что- функция.

Пример. Вычислим производную функции :

,

.

Пример. Вычислим производную функции :

,

,

.

п. 3 Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке, тогда,.

Определение 1. Дифференциалом функции называется главная часть приращения и обозначается..Дифференциалом аргумента (вне зависимости от переменной) называют его приращение . Таким образом, дифференциал функции равен. Тогда производная функции равна.

Геометрический смысл дифференциала

(рисунок)

Так как , то дифференциал функции равен . Таким образом, .

Физический смысл дифференциала

Пусть тело движется по закону . Тогда дифференциалом перемещенияявляется то приращение расстояния за промежуток времени, пройденное со скоростьюв промежутке. Таким образом,.

Инвариантность дифференциала функции

Если функция является сложной, то ее дифференциал равен . Тогда или .

Замечание. С дифференциалами обращаются также как и с производными, поэтому для дифференциала справедливы те же правила дифференцирования. На практике дифференциал применяют для приближенных вычислений:

,, т.е..

Пример. Вычислим . Для этого рассмотрим функцию в точке . Приращение , тогда , , .

п. 5 Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Пусть функция имеет производную порядка. Тогда производной -го порядка называется .

Пример. .

Для нахождения производной произведения -го порядка пользуются аналогом бинома Ньютона:

; .

Заметим, что , тогда.

Определение 2. Дифференциалом -го порядка называется

.

В частности,

.

п. 6 Свойства дифференцируемых функций

Определение 1. Точка называетсяточкой локального максимума (минимума), а значение функции локальным максимумом (минимумом), если найдется -окрестностьточкитакая, что. Точки локального минимума и максимума называютсяточками локального экстремума.

Теорема 1. Теорема Ферма

Пусть функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале , причем - точка локального экстремума функции. Тогда.

Доказательство:

Для определенности пусть - точка локального экстремума, т.е.. Рассмотрим производную.

Так как , то получим, что. ■

Замечание. Теорема Ферма является необходимым условием экстремума. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Пример. Рассмотрим функцию . Производная функцииравна нулю при, но эта точка не является точкой экстремума функции.

Пример. Для квадратичной функции абсцисса вершины параболы является точкой экстремума, а ордината - экстремумом функции. Исходя из этого, найдем координаты вершины параболы. Так как и, , то .