Геометрический смысл теоремы Ферма
Если функция на отрезке имеет локальный экстремум, то касательная, проведенная к графику функции в этой точке, параллельна оси .
Теорема 2. Теорема Ролля
Пусть непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем .Тогда найдется точка.
Доказательство:
Так как функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наименьшего значений (ТВГ, ТНГ).
Пусть , а. Тогда возможны два случая:
1. Если , то. Тогда.
2. Если , то пусть . Это значит, что на интервале , по крайней мере, в одной точкефункциябудет иметь экстремум, а по теореме Ферма. ■
Замечание. Все условия данной теоремы существенны. (рисунки – 3 шт.).
Теорема 2. Теорема Лагранжа
Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда найдется точка.
Доказательство:
Введем вспомогательную функцию так, чтобы функцияудовлетворяла теореме Ролля, т.е.:
, ,
.
Тогда ,
, . Таким образом,■
Замечание. Геометрический смысл теоремы:
точка , в которой касательная к графику функции имеет такой же наклон, как и хорда, соединяющая точки и. (Рисунок)
.
Замечание. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Следствие 1. Формула конечного приращения
Если то
где , или.
Следствие 2. Критерий монотонности
Для того, чтобы функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы.
Доказательство:
Необходимость. Пусть функция не убывает на отрезке . Тогда, по определению, имеем . Возьмем любойи придадим ему положительное приращение. Получим.
Достаточность. Пусть . Возьмем точкитакие, чтои применим теорему Лагранжа:, где . Тогда или . Таким образом, получили определение неубывающей функции. ■
Теорема 3. Теорема Коши
Пусть функции инепрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем . Тогдатакая, что.
Доказательство:
Докажем сначала, что . Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, значит, что. Отсюда.
Введем вспомогательную функцию так, чтобы она удовлетворяла условиям теоремы Ролля.
.
Тогда . Отсюда
.
Таким образом,
или . ■
Замечание. Теорема Коши является наиболее общей теоремой, т.е. теорема Ролля и Лагранжа являются следствиями из теоремы Коши.
Теорема 4. Теорема Бернулли – Лопиталя
Пусть функции инепрерывны и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестноститочки, причем,и. Тогда.
Доказательство:
Рассмотрим окрестность . (Рисунок) Выберем последовательность . Тогда, начиная с некоторого номераN, члены последовательности попадают в эту окрестность. Тогда, так как и, то функцииив точке имеют устранимый разрыв. Доопределим эти функции до непрерывности: ,. Тогда на отрезкеданные функции непрерывны и дифференцируемы на интервале. Таким образом, выполняются все условия теоремы Коши. Это значит, что
, где , или.
Перейдем к пределу при :,
. ■
Замечание. Если не существует, то из этого не следует, что не существует.
Пример. Вычислим
, но не существует.
Пример. Вычислим . Применяя правило Лопиталя, получим .
Замечание. Теорема Лопиталя сформулирована для неопределенности типа и имеет место для неопределенностей типа
Пример. Вычислим . Для этого прологарифмируем функцию . Тогда. Следовательно,.
п. 7 Формула Тейлора
Можно заметить, что чем больше производных совпадают у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют (приближают) друг друга в окрестности этой точки. Нас будет интересовать приближение функции в окрестности одной точки с помощью многочленов. Рассмотрим многочлен степени :. Заметим, что. Так как, то
. Аналогично получим ,
.
Определение 1. Функция называетсягладкой порядка в точке на интервале , если она имеет все производные порядкавключительно, причем эти производные являются непрерывными функциями на отрезке. Этот факт обозначается .
Определение 2. Выражение вида
называется формулой Тейлора для функции в окрестности точки.
Теорема 1. Если функция является гладкой порядкав некоторой окрестности точки , то имеет место формула Тейлора для данной функции .
Доказательство:
Пусть имеет место формула Тейлора для функции : , причем
, ,. Обозначим
.
Используя правило Лопиталя, покажем, что . Так как, …,,,
тогда =
=…=. ■
Замечание. В формуле Тейлора первое слагаемое называют главной частью функции, а второе – остаточный член функции .
Если , то формулу Тейлорадля функцииназываютформулой Маклорена.
Остаточный член в виде называют остаточным членом вформе Пеано.
Формула Тейлора используется для того, чтобы приблизить функцию многочленом -й степени в некоторой окрестности точки:
Пример. Разложим многочлен по степеням . Для этого найдем коэффициенты разложения: , ,
, . Тогда
.
Теорема 2. О единственности разложения функции по формуле Тейлора
Если функция в некоторой окрестности точкиимеет разложение по формуле Тейлора, то это разложение единственно.
Доказательство:
. Пусть функция имеет два разложения:
,
.
Вычтем одно из другого и получим:
.
Пусть , тогда. Разделим полученное равенствона . Получим
. Тогда при получим. Рассуждая аналогично, получим. Следовательно,. Таким образом, разложения совпадают. ■
Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. можно найти такие две функции, которые будут иметь одинаковые разложения по формуле Тейлора в некоторой окрестности точки .
Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена
Функция в окрестности точкиимеет разложение, так как. Данное разложение позволяет вычислить.
Функция в окрестности точкиимеет разложение, так как.
Аналогично имеют место следующие разложения:
;
;
.
п. 8 Исследование функции и построение графиков
Определение 1. Точка , в которой производная равна нулю или не существует, называетсястационарной (критической) точкой функции .
Пример. Рассмотрим функцию . Производная функции не существует в точке . Следовательно, является критической точкой данной функции. (рисунок)
Пусть является критической точкой функции, дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки (кроме, может быть, самой точки) и непрерывной в ней. Тогда, если производная меняет знак при переходе через точку, то в этой точке функцияимеет экстремум, а именно, еслименяет знак с “+” на “-”, то- точка максимума; если с “-” на “+”, то- точка минимума. Если производная знак не меняет, то экстремума в точкенет. Таким образом, например, если, то- точка максимума функции. Применим теорему Лагранжа. Так как, то неравенствоимеет место для всехиз левой полуокрестности точки. Так как
, то неравенство имеет место для всехиз правой полуокрестности точки. Таким образом, получили определение точки максимума функции:
Аналогично рассуждая, получим, что если , то- точка минимума функции.
Теорема 1. Если является критической точкой функцииито:
если тоточка минимума;
если тоточка максимума;
если то требуется дополнительное исследование.
Доказательство:
Пусть - критическая точка функциии существует. Тогда существует производная.
Пусть . Тогдавозрастает в окрестности. Следовательно,меняет знак в окрестностис “-” на “+”, т.е.- точка минимума функции. ■
Пример. Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции:
. Таким образом, - критические точки данной функции. Так как , то,. По теореме точкатребует исследования знака первой производной: при всех из некоторой окрестности этой точки, поэтому точка не является точкой экстремума данной функции. Так как, то по теореме - точка минимума.
Понятие выпуклости и вогнутости функции
Определение 2. Функция называетсявыпуклой на отрезке , если выполняется неравенство Йенсена .
Пример. Покажем, что функция является выпуклой на всей числовой оси. Пусть .
Рассмотрим
.
Таким образом, .
Определение 3. Функция называетсявыпуклой на отрезке , есликасательная, проведенная к графику функциив точке с абсциссой , проходит не выше хорды, стягивающей точки с координатами и. (Рисунок)
Определение 4. Функция называетсявогнутой на отрезке , есливыполняется неравенство.
Замечание. Выпуклость функции называют выпуклостью вниз, а вогнутость – выпуклостью вверх.
Теорема 2. Критерий выпуклости
Для того, чтобы функция , дифференцируемая на интервалебыла выпуклой на нем, необходимо и достаточно, чтобымонотонно возрастала на этом интервале. При этом строгому возрастаниюсоответствует строгая выпуклость.
Доказательство:
Необходимость. Пусть дифференцируема и выпукла на интервале. Тогда из определения выпуклости имеем, что,,,;
, ;,. Так както,
,
,
,
,
,
. По теореме Лагранжа , где .
Таким образом, монотонно возрастает.
Достаточность. Пусть монотонно возрастает на интервале. Тогда по теореме Лагранжа , , так как
, ■
Теорема 3. Достаточное условие выпуклости
Функция выпукла на интервале, если.
Доказательство:
Запишем формулу Тейлора для функции :
. Так как , то . ■
Определение 5. Точку называют точкой перегиба функции , еслифункция выпукла (вогнута) ифункция вогнута (выпукла).
Теорема 4. Необходимое условие перегиба
Пусть функция имеет вторую производную в точке. Тогда, еслиявляется точкой перегиба, то.
Теорема 5. Достаточное условие перегиба
Пусть и. Тогда, если вторая производная меняет свой знак при прохождении через точку, тоявляется точкой перегиба.
Yandex.RTB R-A-252273-3