Отношение длин частей струны (при её зажатии пальцем), необходимое для повышения звука на квинту составляет 2:3.

Из этих трёх утверждений следует простой вывод: имея в распоряжении способ построения чистых квинт можно получить полный звукоряд от любого наперёд заданного звука. Такой строй (звукоряд) называется пифагоровым строем.

Пифагоров строй даёт возможность построения полного звукоряда от любой заданной ноты, что, конечно, исключительно важно для совместной игры различных музыкантов. Однако он обладает одним существенным (если не катастрофическим) недостаткам. Пифагоров строй в некотором смысле незамкнут. С теоретической точки зрения это означает, что полутон «до-до#» (хроматический полутон) в пифагоровом строе больше полутона «до#-ре» (диатонический полутон) на величину 243/256-2048/2187, которая называется пифагоровой коммой. На практике же это означает, что музыкант фактически должен заранее «просчитать», какие именно ноты и в каком именно «качестве» он будет использовать при игре, так как от этого будет зависеть конкретная настройка его инструмента.

Настройка инструментов по пифагорову строю весьма проста на практике, однако уже первые попытки игры на «пифагоровых» органах показали, что «враг подкрался с неожиданной стороны» и проблема ещё более зловеща, чем можно было предположить. Большая терция «пифагоровых» органов слишком «остра», напряжённа, и непригодна потому для использования в качестве терции мажорного трезвучия. Вероятно, первыми это заметили певцы хора, которые придерживались «интуитивной», чистой терции с её соотношением частот звуков 5:4. Причину напряженности пифагоровой большой терции найти не трудно. В пифагоровом строе большая терция получается посредством четырех ходов по чистым квинтам вверх и выражается отношением 64/81, что, конечно, неравно 4/5. Разница между чистой и пифагоровой большими терциями называется дидимовой коммой.

Итак, музыкальная практика и тяга ко всё более сложным гармоническим построениям пришли в противоречие с практикой создания и настройки музыкальных инструментов. Выход был, конечно, быстро найден, однако выход этот трудно назвать удовлетворительным. Чистая терция была введена в арсенал средств для «построения новых нот звукоряда» наряду с использовавшимися в пифагоровом варианте квинтой и октавой. Получившийся строй был назван «чистым». Разработку чистого строя обычно связывают с именем итальянского композитора и музыкального теоретика Джозеффе Царлино (1517-1590).

Чистый строй впервые позволил использовать мажорные и минорные гармонические аккорды (трезвучия) при игре на инструментах с фиксированной частотой звуков. В некотором смысле (хотя и с большими оговорками) Джозеффе Царлино можно даже называть «изобретателем» если не мажорного, то, по крайней мере, минорного аккорда.

Однако при использовании чистого строя возникли два вида новых принципиальных и очень значимых сложностей.

Во-первых, каждую ноту теперь можно было построить множеством различных способов – вернее, можно было построить множество «вариантов» одной и той же ноты. Это означает, что такой строй по-прежнему остаётся незамкнутым (то есть «возвращение» к той же ноте при прохождении по квинтовому кругу по-прежнему невозможно). Более того, различные гармонические «ипостаси» одной и той же ноты теперь обладали разными частотами. И хотя в пределах каждой такой «ипостаси» нота была позиционирована относительно устоев лада несравненно лучше, чем в случае пифагорового строя, разница между частотами разных «ипостасей» была весьма велика. Это означает, что музыкант при музицировании был фактически «привязан» к одной тональности. Модуляции и отклонения в другие, даже ближайшие, тональности становились невозможны, так как в них инструмент оказывался «идеально не настроен».

Например, настроив орган для игры в чистом строе ноты «до» органист не мог уже перейти в тональности «ре», так как в этих тональностях квинта тонического трезвучия, встречающаяся наиболее часто, оказывалась «волчьей квинтой», то есть квинтой с наибольшей ошибкой. Разумеется, приходилось исключать и те тональности, где эта квинта входила в доминанту и субдоминанту. Таким образом, органист не имел возможности производить даже элементарные модуляции и отклонения, т.е. переходы, в другие тональности были крайне ограничены и опасны, и это лишало музыку значительной части её выразительных средств.

Существование «волчьих квинт» на фоне «совершенной гармонии» чистого строя было, по всей видимости, особенно невыносимо.

Всё сказанное заставило многих и многих музыкантов, теоретиков и композиторов искать способ построения универсального строя, свободного от описанных проблем. Выгнать «волков» из органа, то есть найти закон построения нового музыкального строя, наряду с музыкантами безрезультатно пытались и математики: Кеплер, Декарт, Лейбниц, Эйлер. О теории гармонии Эйлера шутливо говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов.

Решение проблемы пришло, видимо, с неожиданной стороны – с дальнего востока, где в музыке использовались другие гармонические соотношения и где, возможно, «наркотическая зависимость» музыкантов от чистых квинт и терцией была не столь сильной.

Хотя еще в древней Греции Аристоксен (354-300) проводил расчеты равномерной темперации музыкальных интервалов, исторической преемственности между его исследованиями и современным равномерно темперированным строем не существует. Кроме того, сами формы этих темпераций различны. Аристоксен предлагал производить равномерную темперацию полутоновых интервалов внутри ступеней тетрахорда, построенного по принципам пифагорова строя. Современная темперация подразумевает построение равномерной шкалы всех полутоновых интервалов 12-ступенного музыкального звукоряда.

Подлинным изобретателем подобной темперации следует признать китайца Чжу Цзай Юя (р.1536), который был принцем династии Мин, имевшим страсть к занятиям музыкой, математикой и астрономией. После приблизительно тридцати лет тщательного изучения и экспериментирования им была разработана математическая основа построения равномерно темперированного музыкального строя. Для длины струны и флейты он предлагал ряд ступеней, строящихся на величине, равной корню двенадцатой степени из двух, а для диаметра флейты – корню двадцать четвертой степени из двух.

После того как Чжу Цзай Юй опубликовал свое изобретение в 1584 г., то не китайцы, а европейцы прежде всего обратили на него внимание. Это было время, когда налаживался контакт между Китаем и Европой, и, видимо, каким-то образом идея равномерной темперации проникла на Запад. Первое упоминание о ней появилось в неопубликованных бумагах великого математика Симона Стевина (1548-1620). В 1636 г. сведения о равномерной темперации были изданы французским монахом-миноритом, теологом, физиком и музыкальным теоретиком Мареном Мерсенном (1588-1648) в его книге под названием «Всеобщая гармония» («Harmonie Universelle»). К концу века темперированный строй исследовал немецкий музыкальный теоретик и акустик Андреас Веркмейстер (1645-1706), которому часто и приписывается его изобретение, а в 1722 г. публикуется эпохальная работа И.С. Баха «Хорошо темперированный клавир» («Das Wohl-temperierte Klavier»), в которой были представлены первые музыкальные произведения (прелюдии и фуги) в темперированном строе.

Следует отметить, что к этому моменту уже были опубликованы основные работы по теории логарифмов, поэтому темперированный строй воспринимался как настоящий триумф прогресса – и, в первую очередь, математики.

Публикация ХТК (хорошо темперированного клавира) положила начало распространению равномерной темперации в мире. Равномерный темперированный строй был с воодушевлением принят теми, кто понимал практические преимущества такого строя. Ведь равномерная темперация позволяет легко совершать переход из тональности в тональность. С другой стороны, равномерная темперация всегда имела (и до сих пор имеет) большое количество противников, не без основания придающих большое значение чистоте тона. Тем не менее, сейчас уже можно утверждать, что равномерная темперация одержала окончательную победу, заняв главенствующие положение в европейской музыке в течение 18-19 веков, так что теперь на ней основывается вся современная музыка.