Введение.

Логика – это наука о правильных способах рассуждений. При рассмотрении методов рассуждений логика интересуется формой рассуждений, а не содержанием посылок и заключений в них. Точно определить различие между формой и содержанием нелегко. Поясним его на следующих примерах.

1. Все натуральные числа целые. Число 7 натуральное. Следовательно, 7 – целое число.

2. Все зайцы косые. Беляк заяц. Следовательно, беляк косой.

Оба эти рассуждения имеют одну и ту же форму: Все А суть В; С есть А; следовательно, С есть В.

Логика не интересуется истинностью или ложностью отдельных посылок и заключений. Она в первую очередь интересуется умозаключением, т.е. выясняет, вытекает ли истинность заключения данного рассуждения из истинности его посылок. Еще древние философы изучали эти вопросы, и их исследования положили начало философской логике. С развитием точных наук в философской логике стали применяться математические методы: появилась математическая логика. Начало математической логике было положено в 1847 году работами Джорджа Буля («Математический анализ логики»), Августа де Моргана («Формальная логика») и более поздними работами (1890-1905) Эрнста Шредера и др.

Интерес к математической логике особенно возрос к концу 19 века, когда математический мир был потрясен открытием парадоксов, т.е. рассуждений приводящих к противоречиям. (см.Х.Карри «Основания математической логики»).

С развитием математической логики в ней возникли свои специфические задачи. Появились различные системы математических логик, например, классическая, конструктивная, модальная, комбинаторная и др. (Логика, рассматриваемая здесь, относится к классической).

Считается, что одной из основных задач математической логики является задача объяснения природы математической строгости и природы самой математики. Другими словами, математическая логика включает в себя изучение оснований математики. Работы К.Геделя, С.К.Клини, А.А.Маркова и многих других определили математической логике ведущую роль в математике. Из идей математической логики возникло точное определение понятия алгоритма. С его помощью были решены задачи, которые без этого точного понятия в принципе были бы неразрешимы. Аппарат математической логики находит приложение в вопросах конструирования вычислительных машин и сложных автоматических устройств.