2.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3

Основним поняттям системи аксіом Вейля надамо конкретний зміст за допомогою дійсних чисел, тому така реалізація називається арифметичною.

1. Вектором назвемо будь-яку матрицю стовпець вигляду де - довільні дійсні числи. При цьому два вектори збігаються тоді і тільки тоді, коли відповідні елементи двох матриць рівні. Збігання векторів позначатимемо знаком рівності.

2. Точкою назвемо будь-яку матрицю-рядок вигляду де - довільні дійсні числа. При цьому дві точки і збігаються тоді і тільки тоді, коли .

3. Сумою векторів i назвемо вектор

4. Добутком числа k на вектор назвемо вектор

5. Скалярним добутком векторів і , встановленим ненульовим вектором називається число.

6. Належність упорядкованої пари точок і вектору визначається умовою

Можна переконатись, що при таких означеннях основних обєктів і основних відношень всі аксіоми Вейля тривимірного евклідового простору виконуються. Перевірка аксіом першої, другої, третьої і четвертої груп майже тривіальна, якщо взяти за нульовий вектор матрицю-стовпчик (аксіома 1.3)б а за три лінійно незалежні вектори (аксіома 4.1) матриці стовпці Перевіримо реалізацію аксіом 1 і 2 [15,c.303].

Аксіома 1. Нехай А = - довільна точка і -довільний вектор.

Треба довести, що існує одна і тільки одна точка - така, що вектор =. За означенням належності (6) при цьому має виконуватись умова: З цієї умови випливає, щ о існує одна і тільки одна трійка чисел, яка задовольняє ці числові рівності.

Аксіома 2. Нехай маємо три довільні точки , , .

За домовленістю (6) знаходимо вектори :

Тоді

Аксіома 2 доведена.

Отже система аксіом Вейля. а тому і геометрія Евкліда, несуперечлива настільки, наскільки несуперечливою, є арифметика дійсних чисел [9,c.180].