1.4 Незалежність аксіоми паралельних

У такий же спосіб доведемо незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом евклідової геометрії.

Рис. 1

Теорема 4. Аксіома паралельних евклідової геометрії незалежна, тобто не може бути виведена як наслідок з інших аксіом.

Доведення. Згідно із загальним способом доведення незалежності аксіом нам досить побудувати таку реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, в якій би виконувались всі аксіоми, крім аксіоми паралельних. Побудуємо таку реалізацію.

Під точкою будемо розуміти довільну точку евклідової площини всередині одиничного круга під прямою - довільну хорду цього круга (рис. 1) Відношення належності будемо розуміти так, як і в евклідовій площині. Довжину відрізка АВ з кінцями визначимо так. Нехай пряма АВ перетинає х2 + у2=1 в точках Тоді довжиною відрізка АВ назвемо число

якщо аналогічний вираз із заміною х та у, якщо. У цій реалізації виконуються всі аксіоми евклідової геометрії, крім аксіоми паралельних. Дійсно, через дану точку круга можна провести безліч хорд, які не перетинають дану хорду. Побудова цієї реалізації і доводить незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом [17,c.63].