2.1 Суть метода
Этот метод, в существенном принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.
По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд
(1)
Если этот ряд для сходится и его сумма при имеет предел А:
,
то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:
Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого при стремится к пределу . Значит, число , действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.
2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд
(2)
является расходящимся при всех значениях
Действительно, если имеет вид , где и - натуральные числа, то для значений , кратных , будет , так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби , будем иметь, как известно,
откуда
Таким образом, для бесконечного множества значений
, так что .
Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:
(здесь буква заменяет прежнюю букву ), то его сумма при значении , отличном от 0, будет
(3)
и при стремится к 0. Таким образом, для “обобщенной суммой” ряда будет 0. если , то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную ; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к , также имеет пределом .
3) Аналогично ряд
,
который сходится лишь при или , приводит к степенному ряду
.
Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной при и равной нулю при .
Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.
2.2 Теорема Абеля Хотя формулировка метода “обобщенного суммирования ” принадлежит Пуассону, этот метод называют всё же методом Абеля, так как Пуассон применил этот метод лишь в частном случае. Поэтому в дальнейшем мы будем называть этот метод - методом Пассона-Абеля.
Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда .
Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество
(где ); вычтем его почленно из тождества
.
Полагая , Придем к тождеству
(4)
Так как то по произвольно заданному найдется такой номер , что , лишь только .
Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы
Вторая оценивается сразу и независимо от :
Что же касается первой, то она стремится к 0 при и при достаточной близости к 1 будет
так что окончательно что и доказывает утверждение.
Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела
, (5)
вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда (), т.е. о существовании для него суммы в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.
- Введение
- Глава 1. Основные понятия теории рядов
- 1.1 Определения и термины
- 1.2 Истоки проблемы
- Глава 2. Метод степенных рядов
- 2.1 Суть метода
- 2.3 Теорема Таубера
- 3.1 Суть метода
- 3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
- 3.3 Теорема Харди-Ландау
- 3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов
- Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования
- 4.1 Методы Г.Ф. Вороного
- 4.2 Обобщенные методы Чезаро
- 4.3 Метод Бореля
- 4.4 Метод Эйлера
- Заключение