3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то необходимо
Действительно, из и следует, что
а тогда и
что и требовалось доказать.
Теорема (Фробениуса). Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той же сумме.
Доказательство. Итак, пусть . Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда
для 0<x<1. Выполнив дважды преобразование Абеля, последовательно получим
[при этом следует помнить, что ].
Известно, что (для 0<x<1) или
Умножим обе части тождества на А и вычтем из него почленно предыдущее тождество:
Сумму справа разобьем на две:
Причем число N выберем так, чтобы при было
где - произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения x к 1. Этим и завершается доказательство.
Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом.
Обратное же неверно: существуют ряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд
Так здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод не приложим. В то же время ряд
Имеет (при 0<x<1) сумму , которая при стремится к пределу . Это и есть “обобщенная сумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю.
Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.
- Введение
- Глава 1. Основные понятия теории рядов
- 1.1 Определения и термины
- 1.2 Истоки проблемы
- Глава 2. Метод степенных рядов
- 2.1 Суть метода
- 2.3 Теорема Таубера
- 3.1 Суть метода
- 3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
- 3.3 Теорема Харди-Ландау
- 3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов
- Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования
- 4.1 Методы Г.Ф. Вороного
- 4.2 Обобщенные методы Чезаро
- 4.3 Метод Бореля
- 4.4 Метод Эйлера
- Заключение