4.4 Метод Эйлера

Пусть дан ряд . Формула, выражающая “преобразование Эйлера” выглядит следующим образом

. (20)

При этом, как было доказано, из сходимости ряда в левой части вытекает сходимость ряда в правой части и равенство между их суммами.

Однако и при расходимости первого ряда второй ряд может оказаться сходящимся; в подомном случае его сумму Эйлер приписывал в качестве “обобщенной суммы" первому ряду. В этом собственно и состоит метод Эйлера суммирования рядов; сделанное только что замечание гарантирует регулярность метода.

Если писать рассматриваемый ряд в обычном виде (А), не выделяя знаков , и иметь в виду вырыжение

для р-ой разности, то можно сказать, что методу суммирования Эйлера в качестве “обобщенной суммы" ряда (А) берется обычная сумма ряда

(в предположении, что последний сходится)

Методы Гельдера представляют собой ещё один класс методов обобщенного суммирования. Но они состоят в простом повторении метода средних арифметических. Поэтому рассматривать их не стоит.