1.3 Общее уравнение прямой

Уравнение любой прямой в аффинной системе координат является уравнением первой степени, т. е. может быть записано в виде

Ах + Ву + С = 0, (5)

где числа А и В одновременно не равны нулю.

Таким образом, прямая является алгебраической линией первого порядка.

Докажем обратное утверждение.

Теорема 1: линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени Ах + Ву + С = 0 (5), есть прямая. Вектор (-- В, А) является направляющим вектором этой прямой. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой.

Пусть г - линия, заданная уравнением (5), а M₀(x₀,y₀) - некоторая ее точка, т.е. точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5):

Аx₀ + Вy₀ + С = 0. (6)

Такая точка всегда существует, так как А и В одновременно не равны нулю. Определив из равенства (6) С и подставив в уравнение (5), получим уравнение линии г в виде Ах + Ву - Аx₀ - Вy₀ = 0, или A(x-x₀)-((-B)y-y₀)=0. Это уравнение имеет в точности вид a₂(x-x₀)-a₁(y-y₀)=0 и, следовательно, определяет прямую, проходящую через точку M₀(x₀,y₀) с направляющим вектором (-- В, А). Таким образом, любое уравнение первой степени (5) в аффинной системе координат определяет прямую линию. Другими словами, любая алгебраическая линия первого порядка есть прямая линия. Уравнение (5) называется общим уравнением прямой, а x и y называются текущими координатами точки прямой.[1]