2.2 Окружность

Докажем, что окружность является алгебраической линией второго порядка. Для этого возьмем на плоскости прямоугольную систему координат и в этой системе координат составим уравнение окружности ? радиуса r c центром в точке C(a, b).

Точка М (x, y) плоскости принадлежит окружности ? тогда и только тогда, когда СМ=r или CM²=r². Это равенство в координатах запишется так:

. (13)

Это и есть уравнение окружности ?.

Действительно, если точка M₀(x₀, y₀) лежит на окружности, то , т.е. , поэтому координаты точки M₀ удовлетворяют уравнению (13), а если точка M₁(x₁, y₁) не лежит на окружности, то , т.е. и, значит, координаты точки M₁ не удовлетворяют уравнению (13). Итак, доказано, что уравнение (13) есть уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(a, b).

В частности, если центр окружности совпадает с началом О координат, то a=b=0, поэтому уравнение (13) принимает вид:

. (14)

Уравнение (13) можно записать в виде

, (15)

где A=-2a, B=-2b, C=a²+b²-r².

Таким образом, уравнение любой окружности в прямоугольной системе координат имеет вид (15), т.е. окружность является алгебраической линией второго порядка.

Рассмотрим теперь обратную задачу, т.е. выясним, что собой представляет алгебраическая линия второго порядка, заданная уравнением (15). Перепишем это уравнение так:

,

Или

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (13), видим, что если , то линия, заданная уравнением (15), является окружностью с центром и радиусом .

Окружность является примером алгебраической линии второго порядка. Кроме окружности существуют и другие алгебраические линии второго порядка.

Отметим, что существует бесконечное множество неалгебраических линий. Так, линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнениями , , , () и др., являются примерами неалгебраических линий. Действительно, если предположить, что какая-либо из этих линий алгебраическая, то по теореме 1 эта линия в любой аффинной системе координат, в том числе в системе , определяется уравнением вида (1), где F(x, y) - многочлен. Но это невозможно, так как можно доказать, что ни одна из функций sin x, tg x, lg x, a^x не может быть представлена в виде многочлена.[1]