Алгебраическая линия на плоскости. Окружность

курсовая работа

2.1 Алгебраическая линия первого и второго порядка

Для получения линии первого порядка надо приравнять нулю многочлен первой степени. Он может содержать только члены первой степени и свободный член. Поэтому уравнение линии первого порядка в общем виде таково:

Ах+Ву+С=0, (7)

причем коэффициенты А, В не могут оба равняться нулю.

Здесь могут быть два случая:

1) Если В?0, то, производя деление на В и обозначая

, (8)

Получим

y=kx+b. (9)

Рисунок 2 - Изображение уравнения прямой линии

Это уравнение прямой линии, изображенной на рисунке 2.

2) Если же В=0, то, деля на А и обозначая , получаем уравнение х = а, т.е. прямую, параллельную оси у. Отметим, что для таких прямых угловой коэффициент , что также вытекает из выражения (8), а уравнение записать в форме (9) невозможно. Итак, линии первого порядка - это прямые линии.

Рассмотрим несколько простых задач на прямые линии.

1. Через заданную точку (x1, y1) провести прямую с данным угловым коэффициентом k. Конечно, в аналитической геометрии «провести прямую» означает «написать уравнение прямой». Искомое уравнение имеет вид (9), но b в нем неизвестно. Однако, раз прямая проходит через данную точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой: y1=kx1+b. Производя вычитание, исключаем b и получаем искомое уравнение

. (10)

алгебраический линия окружность координата

Если в этом уравнении менять k, то мы получим пучок всевозможных прямых, проходящих через точку (x1, y1). Можно предположить и , т.е. получить вертикальную прямую, однако, для этого надо предварительно обе части разделить на k, тогда после подстановки получится просто , т.е. . Аналогичные предосторожности принимаются и в других задачах, когда параметры принимают бесконечные значения.

2. Провести прямую через две данные точки (x1, y1) и (x2, y2). Уравнение искомой прямой имеет вид (10), но k неизвестно. Однако из условия прохождения через вторую точку получаем: , откуда, производя деление, исключаем k:

(11)

Отметим,что в этом уравнение,как и в уравнении (10), x и y - переменные координаты текущей (любой) точки искомой прямой.

Уравнение линии второго порядка имеет вид:

Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 , (12)

где коэффициенты А, В, С не могут равняться нулю (2B, а не просто В, пишут только для упрощения получающихся формул).

Здесь возможны три случая: эллиптический (), гиперболический () и параболический ().[2]

Делись добром ;)