§6. Алгебраическая линия

Введение системы координат на плоскости позволяет использовать

при решении задач метод координат. При использовании этого метода каждая фигура задается с помощью уравнения или неравенства. При этом мы имеем дело с аналитическим методом решения задачи, а геометрия называется аналитической. В ней решаются две задачи:

1) по заданным свойствам фигуры составить аналитические условия, её определяющие;

2)по аналитическим свойствам , задающим фигуру, исследовать её свойства.

Очень часто на плоскости рассматривают геометрическую фигуру, называемую линией. Она задается своим уравнением: уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты посторонней точки.

Опр. Линия на плоскости называется алгебраической, если в некоторой аффинной системе координат её уравнение можно представить в виде гдемногочлен от переменных

Степень этого многочлена называется порядком линии.

Примеры:

Задача. Записать уравнение окружности с центром в точке и радиусом

Это линия 2-го порядка.

Частный случай:

Примеры неалгебраических линий: и т.д.

Задача. При каких условиях на коэффициенты уравнение

определяет окружность в дпск?

Задача. Определите координаты центра и радиус окружности