1.4 Незалежність аксіоми паралельних
У такий же спосіб доведемо незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом евклідової геометрії.
Рис. 1
Теорема 4. Аксіома паралельних евклідової геометрії незалежна, тобто не може бути виведена як наслідок з інших аксіом.
Доведення. Згідно із загальним способом доведення незалежності аксіом нам досить побудувати таку реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, в якій би виконувались всі аксіоми, крім аксіоми паралельних. Побудуємо таку реалізацію.
Під точкою будемо розуміти довільну точку евклідової площини всередині одиничного круга під прямою - довільну хорду цього круга (рис. 1) Відношення належності будемо розуміти так, як і в евклідовій площині. Довжину відрізка АВ з кінцями визначимо так. Нехай пряма АВ перетинає х2 + у2=1 в точках Тоді довжиною відрізка АВ назвемо число
якщо аналогічний вираз із заміною х та у, якщо. У цій реалізації виконуються всі аксіоми евклідової геометрії, крім аксіоми паралельних. Дійсно, через дану точку круга можна провести безліч хорд, які не перетинають дану хорду. Побудова цієї реалізації і доводить незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом [17,c.63].
- ВСТУП
- § 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)
- 1.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії
- 1.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії
- 1.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини
- 1.4 Незалежність аксіоми паралельних
- § 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії
- 2.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3
- 2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля
- 2.3 Повнота системи аксіом Вейля
- $ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського
- 3.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна
- 3.2 Реалізація Пуанкаре
- ВИСНОВКИ
- 1.4. Незалежність аксіоми паралельних.
- Говорячи про несуперечливість системи аксіом, то вона називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.
- 2.3. Повнота системи аксіом Вейля
- 1.2. Повнота системи аксіом евклідової геометрії
- 1.1. Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії
- § 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом г. Вейля евклідової геометрії
- Висновки
- Курсова робота