ВВЕДЕНИЕ

Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды [1].

Сейчас широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближенного нахождения решений [2].

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Этим обусловлена актуальность выбранной темы исследования.

Цель данной работы: показать применение метода степенных рядов при интегрировании дифференциальных уравнений.

Объектом исследования выступает процесс интегрирования дифференциальных уравнений методом степенных рядов.

Предметом исследования являются формы, методы и средства интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядами.

В соответствии с поставленной целью можно сформулировать основные задачи данной работы:

1. Рассмотреть основные понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями.

2. Проанализировать метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

3. Применить метод степенных рядов для решения различных задач.

Структура работы: титульный лист, бланк задания на работу, аннотация, содержание, введение, основная часть, заключение, список использованной литературы.

Основная часть работы состоит из двух глав. В первой главе раскрываются понятия ряда, степенного ряда, ряда Тейлора, дифференциальных уравнений. Во второй главе рассмотрены примеры интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядам.

Для исследования теоретической части работы использовались материалы учебной литературы и периодических изданий, указанные в списке использованной литературы.

Объем работы: 26 страниц.