1.3 Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Пусть - дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки т.е. имеет производные любых порядков. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд

(1.8)

В частном случае при ряд (1.8) называется рядом Маклорена:

(1.9)

Возникает вопрос: В каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией ?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна

Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.

Теорема 1.4: если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т.е. то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого из этого интервала т.е. имеет место равенство

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно [7].