Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

курсовая работа

1.5 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы ОДУ. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения ОДУ и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование ОДУ при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка. Ограничимся для простоты рассмотрением линейного однородного ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами

(1.12)

Замечание: достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где - некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом.

Предположим, что функции можно разложить в сходящиеся в интервале ряды:

(1.13)

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку) [10].

Теорема 1.5: если функции имеют вид (1.13), то любое решение ОДУ (1.12) представимо в виде сходящегося при степенного ряда:

(1.14)

Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (1.14). Для простоты положим в (1.13) и (1.14) и будем искать решение ОДУ (1.12) в виде

(1.15)

Подставив (1.15) в (1.12), получим равенство

(1.16)

Для выполнения (1.16) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени был равен нулю.

Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

из которой можно последовательно найти если задать значения и (в случае задачи Коши для ОДУ (1.12) они входят в начальные условия ).

Если функции являются рациональными, т.е.

где - многочлены, то в окрестностях точек, в которых или решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка

Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд

Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом

Решение ОДУ в виде расходящегося степенного ряда называют формальным [11].

Делись добром ;)