1.4 Дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции аргумента называется соотношение вида

(1.10)

где - заданная функция своих аргументов.

В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин - «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент искомую функцию и любые ее производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка [8].

Например,

А) - уравнение первого порядка;

Б) - уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

В) - уравнение второго порядка;

Г) - уравнение первого порядка, образующее после деления на эквивалентную форму задания уравнения:

Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.

Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение - значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.10) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.10).

Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.10). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.10). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при :

(1.11)

В правых частях начальных условий (1.11) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.10) по начальным условиям называется задачей Коши [9].