2.2 Примеры интегрирования

В тех случаях, когда для уравнения требуется решить задачу Коши при начальном условии решение можно искать с помощью ряда Тейлора:

где а дальнейшие производные находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо значений и всех остальных найденных последующих производных. Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков [13].

Пример 2.1. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение взяв шесть первых членов разложения, отличных от нуля [12].

Из уравнения начальных условий находим Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем

Полагая и используя значения последовательно находим Искомое решение имеет вид

Пример 2.2. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения [12].

Дифференцируя уравнение имеем

При получаем

Решение имеет вид

Пример 2.3. Проинтегрировать уравнение [14].

Будем искать решение этого уравнения в виде ряда

Подставляя и в исходное уравнение, находим

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями :

Приравнивая нулю все коэффициенты полученного ряда (чтобы уравнение обратилось в тождество), находим

Последнее соотношение позволяет найти последовательно все коэффициенты искомого разложения ( и остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных интегрирования):

Таким образом,

Полученные ряды сходятся на всей числовой оси и определяют два линейно независимых частных решения исходного уравнения.

Пример 2.4. Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши [14].

Видно, что функция разложима в ряд Тейлора по переменным и в окрестности точки и этот ряд сходится на всей плоскости

Ищем решение задачи в виде

(2.3)

Из условия находим

Дифференцируя это уравнение как тождество относительно искомого решения и полагая находим

Подставляя в ряд (2.3) найденные значения получаем искомое решение с указанной точностью: