1.1 Ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

,(1.1)

числа называются членами ряда, - общим или n-м членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления n-го члена ряда по его номеру

Пример 1.1. Пусть . Ряд

(1.2)

называется гармоническим рядом.

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где - сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т.е.

(1.3)

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.3) имеет конечный предел, т.е.

В этом случае число называется суммой ряда (1.1) и пишется

Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Теорема 1.1 (Необходимый признак сходимости ряда): если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

(1.4)

Доказательство теоремы следует из того, что , и если

S - сумма ряда (1.1), то

Условие (1.4) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т.е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2)

однако, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда): если общий член ряда не стремится к нулю при то этот ряд расходится [3].

Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд

Для этого ряда Следовательно, данный ряд расходится [4].

1.1