§ 1. Постановка задачи о синтезе управления
Пусть движение некоторой управляемой системы описывается системой дифференциальных уравнений
= , (1.1)
где Є n есть вектор-функция переменных, являющихся некоторыми контролируемыми параметрами, связанными с движением управляемого объекта, а Є Rm есть вектор-функция управления, приложенного к объекту.
Пусть = есть некоторое частное движение системы, порождаемое управлением .
Таким образом, имеем
(1.2)
Примем за невозмущенное движение, а за возмущенное движение будем считать движение, которое также описывается уравнениями (1.1), но уже при значениях , отличных, вообще говоря, от воздействия .
Введем переменные
(1.3)
где - возмущения параметров движения, - отклонения управляющих воздействий от порождающего управления .
Из соотношений (1.1), (1.2) и определения (1.3) получаем, что возмущенное движение при отклонении , принимаемом за дополнительное управление, описывается системой уравнений
(1.4)
где
Согласно составленному переходу, имеем соотношения
(1.5)
Будем предполагать, что правая часть системы (1.4), вектор-функция определена и непрерывна для всех, за исключением, быть может, точки и некоторого заданного множества, где Г =, есть норма в n-мерном действительном пространстве Rn, задаваемая в соответствии с конкретной постановкой задачи, Rm есть m-мерное действительное пространство с соответствующей нормой
Также будем полагать, что дополнительное управление u, целью которого является приведение системы в движение по закону , или по закону х (t) ? 0 системы (1.4), формируется по цепи обратной связи с измерением текущих значений параметров х, т.е. в виде зависимости В соответствии с (1.3) и (1.5) следует принять, что желательно, чтобы искомое управление удовлетворяло условиям (1.6).
знакопостоянная функция ляпунов управляемая
Пусть U ‚ Rm есть класс управлений которые могут быть построены на основе обратной связи, определенных и непрерывных в области, за исключением, быть может, точки x = 0 и некоторого заданного множества.
Допустим, что для каждого соответствующие движения для каждой точки при являются единственными.
Введем следующие обозначения: - управляемое движение, удовлетворяющее начальному условию и порождаемое управлением .
В работе [33] дана следующая постановка задачи синтеза управления для системы (1.4) на конечном отрезке времени.
Определение 1.1 Задача синтеза управления на конечном отрезке времени состоит в нахождении управления такого, чтобы движение системы (1.4), начинающееся в произвольной точке из некоторой окрестности х = 0 в любой начальный момент времени t0, попадала в конечный момент времени, где , в заданную точку х = 0.
При этом синтез будем называть устойчивым, если при решающем поставленную задачу, для любого, и для любого _ > 0 существует д > 0, такое, что , если и .
Для решения поставленной задачи в [33] применен метод функций Ляпунова. Доказана следующая теорема.
Теорема 1.1 [33] Рассмотрим управляемый процесс (1.4). Будем предполагать, что вектор-функция непрерывна по совокупности переменных и в области
удовлетворяет условию Липшица
Пусть существует в замкнутой области
функция , удовлетворяющая условиям:
1) при и для любого;
2) непрерывна всюду и непрерывно дифференцируема всюду, за исключением, быть может, точек вида (t, 0) при ;
3) существует с > 0, такое, что множество ограничено и при всех ;
4) существует функция при , такая, что справедливо неравенство
при некоторых > 0 и > 0, причем в области удовлетворяет условию Липшица
5) справедливо неравенство
Тогда движение системы (1.4), начинающееся в произвольной точке в начальный момент оканчивается в точке х = 0 в некоторый момент времени , где .
Замечание 1.1 [33] Если = +, то функция Ляпунова обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.4).
Проведем дальнейшее развитие результатов работы [33]. Поставим задачи равномерного синтеза и синтеза управления равномерного по на конечном отрезке.
Определение 1.2 Задача равномерного синтеза состоит в нахождении управления , такого, что существуют число и число , такие, что любое движение, начинающееся в произвольной точке , в любой начальный момент времени , попадает в заданную точку при некотором
Определение 1.3.3адача синтеза управления равномерного по состоит в нахождении управления , такого, что для любого найдутся число и число , такие, что любое движение, начинающееся в точке в начальный момент времени , попадает в заданную точку х = 0 при некотором По отношению к задаче синтеза управления можно поставить задачу о выборе управляющего воздействия с точки зрения наилучшего качества переходного процесса, состоящего в достижении минимума функционала
где щ - некоторая непрерывная неотрицательная скалярная функция переменных , характеризующая качество переходного процесса, число не задано.
Выбор в конкретной прикладной задаче проводится с учетом особенностей ее постановки, ограничения ресурсов управления, требования к оценке переходного процесса и возможностей формы или способа решения задачи.
Пусть есть движение, порождаемое управляющим воздей - ствием а - движение, порождаемое управляющим воздействием .
Используя введенные выше обозначения, проведем постановку задачи оптимального синтеза.
Определение 1.4 Задача оптимального синтеза состоит в нахождении управляющего воздйствия , решающего задачу синтеза управления на конечном отрезке и такого, что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями , решающими эту задачу, для всех выполняется неравенство
? ,
при условиях
3амечание 1.2 Область в определении 1.4 принята независимой от . Возможны и другие варианты постановки задачи об оптимальном синтезе. Например, с зависимостью от , т.е. когда
Определение 1.5 Задача равномерного оптимального синтеза соcтоит в нахождении управляющего воздействия , решающего задачу равномерного синтеза управления на конечном отрезке, и оптимального по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями , решающими эту задачу.
Соответственно определению 1.3 можно ввести задачу oптимального синтеза равномерного по .
Будем рассматривать также задачи о стабилизации и равномерной стабилизации в следующей классической форме из [60].
Определение 1.6. [60] 3адача о стабилизации состоит в нахождении управляющего воздействия в виде вектор-функции такой, чтобы невозмущенное движение х = 0 было бы асимптотически устойчивым в силу уравнений (1.4) при .
Определение 1.7 [60] Задача о равномерной стабилизации состоит в нахождении управляющего воздействия в виде вектор-функции такой, чтобы невозмущенное движение х = 0 было бы равномерно асимптотически устойчивым в силу уравнений (1.4) при , с некоторой областью равномерного движения .
- Прямой метод Ляпунова.
- Тема 8. Метод функций Ляпунова.
- 2.2. Прямой метод Ляпунова
- 6.2. Прямой метод Ляпунова
- Второй метод Ляпунова
- 2.7.2.Теоремы Ляпунова
- Исследование устойчивости нелинейных систем. Второй метод Ляпунова
- 7.2. Теоремы Ляпунова (прямого метода Ляпунова)
- 40. Прямой метод Ляпунова
- 2.5.2 Второй метод Ляпунова