40. Прямой метод Ляпунова

Прямой метод Ляпунова, который позволяет судить об устойчивости непосредственно по уравнениям возмущенного движения, не прибегая к их интегрированию.

Уравнения возмущенного движения записываются в нормальной форме Коши в отклонениях от невозмущенного движения dx_i/dt = X_i(x₁,x₂…x_n) i=1…n.

Невозмущенному движению при этом соответствует тривиальное решение, т.е. x₁=x₂=..x_n=0.

Если X_i(x₁…x_n) представляют собой функции фазовых координат (отклонений), непрерывные в некоторой области Rⁿ, содержащей начало координат и имеющей частные производные по всем аргументам, то для анализа устойчивости невозмущенного движения могут быть использованы специальные функции фазовых координат , называемые функциями Ляпунова.

Прямой метод опирается на известную теорему Лагранжа, согласно которой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы минимальна.

Идея метода состоит в том, чтобы подобрать такую функцию фазовых координат, которая бы в некотором смысле была аналогична потенциальной энергии системы в состоянии покоя.

Рядом специальных свойств обладают функции Ляпунова. Это непрерывные однозначные функции фазовых координат, определенные в области Rⁿ Σx_j²≤ μ (15) ( μ- постоянное положит. число), удовлетворяющие условию V(x₁…x_n)=0 при x₁=x₂=…x_n=0 (16) и имеющие производные по всем аргументам. Цель состоит в том, чтобы, предполагая невозмущенное движение устойчивым, попытаться подобрать такую функцию фазовых координат, которая при любом движении системы уменьшалась, т.е dV/dt<0.

Если в окрестности начала координат функция V кроме нуля может принимать значения только одного знака, то она называется знакопостоянной.

Если знакопостоянная ф-я обращается в нуль только в том случае, когда все x₁…x_n равны нулю, то ф-я V называется знакоопределеной.

Знакоопределенная функция имеет при x₁=…x_n=0 экстремум (min для опред.-положит. функции и mах для опред.-отриц). Знакопостоянная ф-я в начале координат экстремума не имеет, т.к. в окрестности начала координат есть точки, в которых V=0.

Пусть V=V(x) непрерывна вместе с производными первого порядка: кроме того предположим, что V(x) знакоопределенная. Тогда при x₁=…x_n=0 она будет иметь изолиров. экстремум и все

Разложим V в ряд Маклорена по степеням x₁…x_n

Учитывая (16) и (17), получим

Обозначим

Т.о. разложение знакоопределенной функции V в ряд по степеням x1…xn не содержит членов первой степени, т.е. остается квадратичная форма:

Пусть квадратичная форма принимает положительные значения и в нуль обращается только при x1=…xn=0 . Тогда вне зависимости от членов высшего порядка при достаточно малых по модулю xj функция V будет принимать тоже положительные значения и в нуль обращается только при x1=…xn=0 . Если квадратичная форма (21) определенно – положительна, то и функция будет определенно положительной.

Рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы (21) и составим из нее n главных диагональных миноров.

В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра: Для того, чтобы квадратичная форма была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов были положительны, т.е. Δ₁>0, Δ₂>0… Δ_n>0

Для того, чтобы квадратичная форма была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства Δ₁<0, Δ₂>0, Δ₃<0 , т.е. oпределители должны последовательно чередовать знак, причем знак Δ₁=c₁₁ д.б. отрицательным. Критерий Сильвестра для квадратичной части функции V является достаточным (но не необходимым) условием определенной положительности самой функции V.

Может оказаться, что разложение знакоопределенной функции V в ряд по степеням x1…xn начинается не с членов второго, а с членов более высокого порядка. В этом случае общих приемов исследования функции на знакоопределенность нет.