Второй метод Ляпунова

Общий метод исследования на устойчивость решений систем дифференциальных уравнений:

получивший в дальнейшем название второго или прямого метода Ляпунова.

Действительно, если  - расстояние от точки траектории до начала координат, то и Однако точка покоя может быть устойчивой и даже асимптотически устойчивой и при немонотонном приближении к ней точек траектории с возрастанием времени. Поэтому вместо функций  А.М. Ляпунов рассматривал некоторые функции V(t,x1,x2,...,xn), являющиеся в некотором смысле «обобщенными расстояниями» до начала координат

Прямой метод Ляпунова об изучении устойчивости сводится к построению таких функций V векторной переменной X( x1,...,x_n), полные производные которых по времени, вычисленные согласно (*), обладают некоторыми специфическими свойствами.

Всякую функцию V назовем знакопостоянной, если она, кроме нулевых значений, принимает всюду в области G значения только одного знака.

Всякую знакопостоянную функцию, принимающую нулевое значение только в начале координат, назовем знакоопределенной и учитывая ее знак – определенно положительной или определенно отрицательной.

31. Содержание

    • Понятие управления. Автоматическое и автоматизированное управление. Классификация систем автоматического управления (сау).
    • Функциональные схемы сау: разомкнутые и замкнутые сау. Обратная связь и ее типы.
    • Структурные схемы систем и их эквивалентные преобразования.
    • Формула Мейсена
    • Временные характеристики систем. Переходная характеристика.
    • Частотные характеристики систем.
    • Логарифмические характеристики.
    • Передаточная функция: определение и типы
    • Типовые звенья и их характеристики
    • Основные законы регулирования.
    • Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем
    • Алгебраический критерий устойчивости (Рауса-Гурвица)
    • Критерий устойчивости Михайлова.
    • Критерий Найквиста.
    • Точность систем автоматического управления в типовых режимах.
    • Понятие переходного процесса. Оценка качества системы по переходной характеристике.
    • Методы построения переходного процесса.
    • Прямые и косвенные методы исследования качества управления.
    • Основные методы повышения точности систем
    • Теория инвариантности и комбинированное управление (далее ку)
    • Корректирующие средства
    • Основные принципы повышения запаса устойчивости систем
    • Система с переменными параметрами (далее спр). Нормальная и сопряженная весовые функции
    • Параметрическая передаточная функция (далее ппф) нестационарной системы
    • Методы анализа нестационарных систем
    • Системы с запаздыванием
    • Нелинейные системы, общие понятия, особенности динамики, типовые нелинейности.
    • Метод малых отклонений. Первый метод Ляпунова. Типы особых точек
    • Метод интегрированной аппроксимации (на примере системы с реле)
    • Второй метод Ляпунова
    • Частотный критерий устойчивости в. М. Попова.
    • Методы малого параметра (аналитические методы)
    • Метод гармонического баланса.
    • Преобразование случайных сигналов линейными системами.
    • Преобразование случайных сигналов нелинейными системами.
    • Статистически оптимальные параметры линейных систем.
    • Статистически оптимальные системы. Уравнение Винера-Хопфа (на примере не реализуемой системы).
    • Решение уравнения Винера-Хопфа (для физически реализуемой системы.) Решение уравнения Винера-Хопфа для физически реализуемой системы.
    • Преобразование случайных сигналов безынерционными нелинейными системами.
    • Метод статистической линеаризации.
    • Понятие об оптимальных системах. Примеры постановки задач оптимального управления.
    • Синтез управляющего устройства оптимальной по быстродействию системы методом фазовой плоскости.
    • Вариационное исчисление и основные задачи вариационного исчисления. Перечислите основные задачи вариационного исчисления?
    • Основная задача минимизации. Случай закрепленных конечных точек.
    • Случай подвижных конечных точек. Задача перехвата.
    • Вариационное исчисление в задачах оптимального управления. Управление по минимуму интегральной оценки.
    • Учет физических ограничений и множители Лагранжа (на примере)
    • Обобщенная задача оптимального управления.
    • Принцип максимума Понтрягина.
    • Метод динамического программирования Беллмана.